前言

数学分析研究极限过程中的结构与规律。数列如何逼近一个数，函数的局部变化能否由线性关系描述，无穷求和与积分何时可以交换，都是这一学科的基本问题。人工智能模型中的迭代更新、复合函数求导、有限数据拟合和近似计算，使这些问题获得了新的应用语境；其可靠解释仍然依赖定义的准确、定理条件的核查和推理链条的完整。

本书面向应用统计学、数据科学与大数据技术等专业本科生，服务于数学分析相关课程及其融合专题学习。内容沿着“实数与函数—极限与连续—微分与积分—级数与多元分析—有限数据与算法”展开。前十二章建立数学基础，后三章讨论有限数据拟合、计算图、约束与正则化。学习基础部分不要求预先掌握机器学习框架；概率风险、随机优化等内容不作为共同达标要求。部分章节中涉及的后续学科接口均按选读处理。

本书的编写有三个着力点。第一，说明概念之间的逻辑关系。连续与可导、偏导存在与可微、驻点与极小点、逐点收敛与一致收敛，均通过正例和反例加以区分。第二，把计算写到可以核验的程度。例题给出中间步骤、误差估计和适用范围，避免把软件输出当作推导的替代。第三，用规模较小的模型解释算法。对一个二次函数的迭代、对共享变量的链式求导、对有限样本平方误差的比较，都能在有限篇幅内展示分析方法的实际作用。

全书延续项目“一图三层五环”的教学思想。“一图”表现为数学概念与算法任务的对应关系；“三层”表现为基础概念、算法解释和条件明确的迁移；“五环”贯穿问题提出、数学论证、计算实施、结果诊断和反思修订。教材按学科顺序组织知识，配套案例库按教学任务组织实践。两类资源在学习目标和术语上保持衔接，各自承担不同功能。

正文中的蓝色栏目用于提示学习目标，绿色栏目联系概念，橙色栏目总结方法，红色栏目辨析常见错误。章末习题包含基础计算、论证与拓展问题，选题解答着重展示解题依据。视频二维码分别安排在数列极限、Taylor公式、多元微分及极值凸性等内容附近；动态参数调节和完整程序运行由配套资源承担。

本书为教学试用稿。试用中的修订依据包括概念表述是否清楚、证明是否完整、习题难度是否适合先修基础，以及数字资源是否便于使用。数学错误与排版问题宜记录页码、题号和具体更正理由，作为后续修订的依据。

重庆科技大学数理科学学院项目组
2026年9月