7  反常积分与数项级数

理解反常积分和数项级数都由有限过程的极限定义；能区分收敛、绝对收敛与条件收敛；能依据被积函数或通项的结构选择判别方法，并为截断计算给出可检验的余项界。先修内容为数列极限、Cauchy收敛准则、定积分和分部积分。本章涉及的误差累积模型均为确定性模型，不要求概率论知识。

有限区间上的定积分和有限项求和都能逐步计算，但把区间延伸到无穷，或把项数增加到无穷，所得结果未必仍是一个有限实数。判定无穷过程是否有意义，必须先明确截断方式，再考察截断值的极限。在模型近似中，这一顺序对应着三个问题：无限表达式是否定义了对象，有限计算保留了多少项，未计算部分能否控制。三个问题相互联系，却不能相互替代。

7.1 反常积分的定义与基本模型

定义 7.1 (无界区间上的反常积分). 设\(f\)在每个有限区间\([a,A]\)上Riemann可积。若有限极限 \[\lim_{A\to+\infty}\int_a^A f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=I\] 存在，则称反常积分\(\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)收敛，并将其值定义为\(I\)；否则称其发散。即使截断积分趋于\(+\infty\)，也称反常积分发散。

若\(f\)在每个\([c,b]\)上可积，而在\(a\)的右侧可能无界，则定义 \[\int_a^b f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=\lim_{c\to a+}\int_c^b f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x,\] 前提仍是右侧极限为有限数。对右端点无界的情形作相应定义。这里的积分符号并未取消取极限的过程，计算时应先保留截断端点。

例 7.2 (\(p\)型积分的两个临界条件). 在无穷远处，当\(p\ne1\)时， \[\int_1^A x^{-p}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=\frac{A^{1-p}-1}{1-p};\] 当\(p=1\)时，该积分为\(\log A\)。因此 \[\int_1^{+\infty}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}x}{x^p} \quad\text{收敛当且仅当}\quad p>1.\] 在零点附近，\(p\ne1\)时有 \[\int_c^1 x^{-p}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=\frac{1-c^{1-p}}{1-p}.\] 令\(c\to0+\)可知\(\int_0^1x^{-p}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)收敛当且仅当\(p<1\)。两个条件方向相反：无穷远处需要足够快的衰减，有限奇点附近允许的增长速度不能过快。临界指数\(p=1\)在两处都导致对数发散。

例 7.3 (先识别全部反常点). 讨论 \[I(\alpha)=\int_0^{+\infty}\frac{x^{-\alpha}}{1+x}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x.\] 在\(x=1\)处分开。\(0<x\le1\)时， \[\frac12x^{-\alpha}\le\frac{x^{-\alpha}}{1+x}\le x^{-\alpha};\] 而\(x\ge1\)时， \[\frac12x^{-\alpha-1}\le\frac{x^{-\alpha}}{1+x}\le x^{-\alpha-1}.\] 第一个积分要求\(\alpha<1\)，第二个要求\(\alpha>0\)，故\(I(\alpha)\)收敛当且仅当\(0<\alpha<1\)。不能只检查无穷远处的阶数，也不能用一条针对整段区间的含混比较替代两个独立判断。

若区间内部有反常点\(c\)，规定 \[\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f\] 成立的条件是右侧两个积分分别收敛。无穷区间\((-\infty,+\infty)\)同样需要在任一有限点处分成两部分。

函数\(1/x\)在\([-1,1]\)上的两个单侧反常积分均发散，所以\(\int_{-1}^1x^{-1}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)不收敛。虽然 \[\lim_{\varepsilon\to0+}\left(\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}x}{x} +\int_{\varepsilon}^1\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}x}{x}\right)=0,\] 这个对称截断值属于Cauchy主值的概念，不能代替通常的反常积分。两个发散量的形式相消不构成收敛证明。

定理 7.4 (反常积分的Cauchy准则). 设\(f\)在每个\([a,A]\)上可积。积分\(\int_a^{+\infty}f\)收敛的充分必要条件是：对任意\(\varepsilon>0\)，存在\(M>a\)，使任意\(B>A\ge M\)均满足 \[\begin{equation} \label{eq:07-integral-cauchy} \left|\int_A^B f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\right|<\varepsilon. \end{equation}\]

证明. Proof. 记\(F(T)=\int_a^T f\)。由于\(F(B)-F(A)=\int_A^Bf\)，式[eq:07-integral-cauchy]恰好是\(F(T)\)在\(T\to+\infty\)时的Cauchy准则。实数的完备性保证其与有限极限存在等价。 ◻

准则控制的是任意足够远的尾区间，而不是某一列指定区间。它也说明：改变被积函数在一个固定有限区间上的可积部分，不改变无穷远处的敛散性。

7.2 比较、绝对收敛与振荡抵消

定理 7.5 (非负函数的比较判别法). 设\(f,g\)在每个\([a,A]\)上可积，并且从某个\(M\)起有\(0\le f(x)\le g(x)\)。若\(\int_a^{+\infty}g\)收敛，则\(\int_a^{+\infty}f\)收敛；若\(\int_a^{+\infty}f\)发散，则\(\int_a^{+\infty}g\)发散。

证明. Proof. 对\(T\ge M\)，\(F(T)=\int_M^T f\)非负且单调递增，又有 \[F(T)\le\int_M^Tg\le\int_M^{+\infty}g.\] 由单调有界原理，\(F(T)\)存在有限极限。第二个结论是第一个结论的逆否命题。 ◻

若最终\(f\ge0\)、\(g>0\)，且\(f(x)/g(x)\to c\in(0,+\infty)\)，则对足够大的\(x\)有\((c/2)g(x)\le f(x)\le(3c/2)g(x)\)，因而两积分同敛散。这一极限比较法只需要考察主导项，不要求计算原函数。有限奇点处的比较法证明相同，只需把尾区间换成靠近奇点的短区间。

例 7.6 (对数修正决定临界情形). 对于 \[\int_{\mathrm e}^{+\infty}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}x}{x(\log x)^q},\] 作\(u=\log x\)的变量替换。对每个有限\(A\)，换元公式给出 \[\int_{\mathrm e}^A\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}x}{x(\log x)^q} =\int_1^{\log A}u^{-q}\,\mathop{}\!\mathrm{d}u.\] 因此原积分收敛当且仅当\(q>1\)。虽然所有被积函数都含有因子\(1/x\)，对数因子仍能改变临界点上的结论。这里先在有限区间换元，再令端点趋于无穷，避免直接操作尚未证明收敛的表达式。

定义 7.7 (绝对收敛与条件收敛). 若\(\int_a^{+\infty}|f(x)|\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)收敛，称\(\int_a^{+\infty}f\)绝对收敛；若后者收敛而前者发散，则称其条件收敛。

命题 7.8. 绝对收敛的反常积分必收敛。

证明. Proof. 由\(|f|\)的反常积分收敛及Cauchy准则，对足够大的\(B>A\)有 \[\left|\int_A^Bf\right|\le\int_A^B|f|<\varepsilon.\] 再次应用Cauchy准则即可。 ◻

例 7.9 (不求原函数的绝对收敛判断). 因为\(0\le |\sin(x^2)|/(1+x^2)\le1/x^2\)对\(x\ge1\)成立，而函数在\([0,1]\)连续，所以 \[\int_0^{+\infty}\frac{\sin(x^2)}{1+x^2}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\] 绝对收敛。若用\(\int_0^A\)作近似，\(A\ge1\)时的截断误差还满足 \[\left|\int_A^{+\infty}\frac{\sin(x^2)}{1+x^2}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\right| \le\int_A^{+\infty}\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}x}{x^2}=\frac1A.\] 比较函数既用于判定收敛，也提供了一个保守但明确的误差界。

定理 7.10 (积分的Dirichlet判别法：可微权函数形式). 设\(f\)在每个\([a,A]\)上连续，\(F(x)=\int_a^xf(t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}t\)有界。设\(g\in C^1[a,+\infty)\)，\(g\ge0\)、\(g'\le0\)且\(g(x)\to0\)。则\(\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)收敛。

证明. Proof. 若\(|F|\le C\)，则\(A<B\)时，分部积分给出 \[\int_A^Bfg=F(B)g(B)-F(A)g(A)-\int_A^BFg'.\] 由于\(g\)单调不增，右侧绝对值不超过 \[C\{g(B)+g(A)\}+C\int_A^B(-g')=2Cg(A).\] 当\(A\to+\infty\)时该界趋于零，且与\(B\)无关，于是满足Cauchy准则。 ◻

例 7.11 (一个条件收敛的积分). \(\int_1^x\sin t\,\mathop{}\!\mathrm{d}t\)有界，\(1/x\)单调趋于零，所以\(\int_1^{+\infty}\sin x/x\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)收敛。其绝对值积分却发散：在区间 \[I_k=[k\pi+\pi/6,k\pi+5\pi/6],\qquad k=1,2,\ldots,\] 上有\(|\sin x|\ge1/2\)、\(x\le(k+1)\pi\)，故 \[\int_{I_k}\frac{|\sin x|}{x}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x \ge\frac{1}{2(k+1)\pi}\frac{2\pi}{3}=\frac1{3(k+1)}.\] 累加这些互不相交区间上的积分并利用调和级数发散，即知绝对值积分发散。收敛来自符号交替所产生的抵消。

注记. 说明 7.12. 反常积分收敛并不普遍推出\(f(x)\to0\)。例如在每个正整数\(n\)附近设置一个高为\(1\)、底宽为\(2^{-n}\)的三角形尖峰，其余处函数为\(0\)；这些尖峰可取互不相交，所得连续非负函数积分为\(\sum_{n\ge1}2^{-n-1}<\infty\)，但\(f(n)=1\)。积分控制面积，不能单独控制每一点的高度。

7.3 正项级数及其判别

定义 7.13 (数项级数). 给定实数列\(\{a_n\}\)，令\(S_N=\sum_{n=1}^Na_n\)。若\(S_N\)趋于有限实数\(S\)，则称级数\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收敛，并称\(S\)为其和。若部分和列没有有限极限，则称级数发散。收敛时\(R_N=S-S_N\)称为第\(N\)个余项。

命题 7.14 (通项必要条件与Cauchy准则). 若\(\sum a_n\)收敛，则\(a_n\to0\)。级数收敛的充分必要条件是：对任意\(\varepsilon>0\)，存在\(N\)，使任意\(m>n\ge N\)满足\(|\sum_{k=n+1}^{m}a_k|<\varepsilon\)。

证明. Proof. 第一条由\(a_n=S_n-S_{n-1}\)得到。第二条就是部分和列的Cauchy准则，因为\(S_m-S_n=\sum_{k=n+1}^ma_k\)。 ◻

\(a_n\to0\)不充分。调和级数在每一段\(2^{j-1}<n\le2^j\)上至少累加\(2^{j-1}\cdot2^{-j}=1/2\)，其部分和因而无界。与反常积分不同，级数收敛确实强制单个项趋于零，但这只是所有尾和都小的一个必要后果。

定理 7.15 (正项级数的比较判别法). 设最终有\(0\le a_n\le b_n\)。若\(\sum b_n\)收敛，则\(\sum a_n\)收敛；若\(\sum a_n\)发散，则\(\sum b_n\)发散。若\(a_n,b_n>0\)且\(a_n/b_n\to c\in(0,+\infty)\)，则两级数同敛散。

证明. Proof. 删去有限项不改变敛散性，故可假设比较关系从第一项起成立。正项级数的部分和单调不减。若\(\sum b_n=B<\infty\)，则\(\sum_{k=1}^na_k\le B\)，由单调有界原理收敛。其余结论分别由逆否关系及最终的双侧常数比较得到。 ◻

定理 7.16 (积分判别法及余项夹估). 若\(f:[1,+\infty)\to[0,+\infty)\)连续且单调不增，则\(\sum_{n=1}^{\infty}f(n)\)与\(\int_1^{+\infty}f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)同敛散。收敛时，对于任意\(N\ge1\)， \[\begin{equation} \label{eq:07-integral-tail} \int_{N+1}^{+\infty}f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x \le\sum_{n=N+1}^{\infty}f(n) \le\int_N^{+\infty}f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x. \end{equation}\]

证明. Proof. 单调性给出\(f(n+1)\le\int_n^{n+1}f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\le f(n)\)。先对有限个\(n\)求和，即可比较积分和部分和的有界性，得到同敛散。收敛后，对\(n=N,N+1,\ldots\)的两组不等式分别求和并取极限，便得余项夹估。 ◻

例 7.17 (\(p\)级数与计算成本). 取\(f(x)=x^{-p}\)，\(p>0\)时可用积分判别法得到\(\sum n^{-p}\)在\(p>1\)时收敛、在\(0<p\le1\)时发散；\(p\le0\)时通项不趋于零，仍发散。若\(p>1\)，则 \[\frac{(N+1)^{1-p}}{p-1}\le R_N\le\frac{N^{1-p}}{p-1}.\] 例如对\(\sum n^{-2}\)，要仅凭上界保证\(R_N\le10^{-3}\)，可取\(N=1000\)。收敛并不意味着少量项已经足够；收敛速度还取决于指数与临界值\(1\)的距离。

积分判别法把未计算的无穷尾和夹在两个可计算量之间。

定理 7.18 (比值与根值判别法). 设\(a_n>0\)。若\(a_{n+1}/a_n\to q<1\)，则\(\sum a_n\)收敛；若此极限\(q>1\)，则发散。更一般地，令\(\rho=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\)，则\(\rho<1\)时收敛，\(\rho>1\)时发散。边界值\(1\)不能据此判定。

证明. Proof. 比值极限小于\(1\)时，选\(q<r<1\)，最终\(a_{n+1}\le ra_n\)，故尾部受某个收敛几何级数控制。极限大于\(1\)时，最终通项递增且有正下界，不趋于零。根值上极限小于\(1\)时选\(\rho<r<1\)，最终\(a_n\le r^n\)；大于\(1\)时可选\(1<r<\rho\)，存在无穷多个\(n\)使\(a_n>r^n\)，通项不能趋于零。 ◻

例 7.19 (根据结构选择判别法). 对于\(a_n=n^3/3^n\)，有 \[\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac13\left(1+\frac1n\right)^3\longrightarrow\frac13,\] 所以级数收敛。对于\(b_n=(2n+1)/(n^3+4)\)，与\(n^{-2}\)比较得\(n^2b_n\to2\)，所以也收敛。若对后者采用比值法，只得到极限\(1\)，没有结论。阶乘、指数常适合比值法；有理式常适合主导幂次比较；含\(\log n\)的临界项常适合积分判别法。

7.4 一般项级数与条件收敛

定理 7.20 (绝对收敛保证收敛). 若\(\sum|a_n|\)收敛，则\(\sum a_n\)收敛，且\(|R_N|\le\sum_{n>N}|a_n|\)。

证明. Proof. 对\(m>n\)应用三角不等式，得\(|\sum_{k=n+1}^{m}a_k|\le\sum_{k=n+1}^{m}|a_k|\)。绝对值级数的Cauchy准则推出原级数的Cauchy准则。固定\(n=N\)并令\(m\to\infty\)，得到余项界。 ◻

定理 7.21 (Leibniz判别法). 若\(b_n\ge0\)、\(b_{n+1}\le b_n\)且\(b_n\to0\)，则交错级数\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n\)收敛，并且 \[|R_N|\le b_{N+1},\qquad (-1)^N R_N\ge0.\]

证明. Proof. 偶数部分和\(S_{2m}=\sum_{j=1}^m(b_{2j-1}-b_{2j})\)单调不减；奇数部分和\(S_{2m+1}\)单调不增，且\(S_{2m}\le S_{2m+1}\)。两列均有界，分别收敛，其差\(b_{2m+1}\to0\)，所以极限相同。极限和\(S\)介于相邻的奇、偶部分和之间，故余项与第一项未取项同号，绝对值不超过该项。 ◻

例 7.22 (交错级数的精度选择). 级数\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}/n\)收敛，而绝对值级数是调和级数，故它条件收敛。取\(N\)项时，\(|R_N|\le1/(N+1)\)。若要求误差不超过\(0.01\)，\(N=99\)已足够；偶数部分和给出下界，奇数部分和给出上界。该结论不依赖预先知道级数的和。

定理 7.23 (级数的Dirichlet判别法). 设\(A_n=\sum_{k=1}^na_k\)有界，\(b_n\)非负、单调不增且趋于零，则\(\sum a_nb_n\)收敛。

证明. Proof. 对\(m>n\)，记\(C_k=\sum_{j=n+1}^ka_j=A_k-A_n\)。若\(|A_k|\le M\)，则\(|C_k|\le2M\)。有限求和分部公式给出 \[\sum_{k=n+1}^ma_kb_k=C_mb_m+ \sum_{k=n+1}^{m-1}C_k(b_k-b_{k+1}).\] 其绝对值不超过\(2M[b_m+\sum_{k=n+1}^{m-1}(b_k-b_{k+1})]=2Mb_{n+1}\)，由\(b_{n+1}\to0\)和Cauchy准则得证。 ◻

条件收敛依赖原有的排列顺序。以交错调和级数为例，若将每两个正项后放一个负项，则前\(3m\)项的和为 \[T_{3m}=\sum_{j=1}^{2m}\frac1{2j-1}-\sum_{j=1}^m\frac1{2j} =H_{4m}-\tfrac12H_{2m}-\tfrac12H_m,\] 其中\(H_n=\sum_{j=1}^n1/j\)。原级数前\(2m\)项为\(S_{2m}=H_{2m}-H_m\)，所以 \[T_{3m}-S_{2m}=(H_{4m}-H_{2m})-\tfrac12(H_{2m}-H_m).\] 积分比较或Riemann和给出\(H_{2m}-H_m\to\log2\)，因此两个极限相差\(\tfrac12\log2\)。重排后的中间部分和与\(T_{3m}\)之差趋于零，所以重排确实改变了和。

删去有限项只使级数的和改变一个有限常数，不改变敛散性。合并相邻有限项也不能反向推出原级数收敛，例如\((1-1)+(1-1)+\cdots\)的分组和为零，而原部分和在\(1\)与\(0\)之间振荡。涉及重排、分组或交换两个无穷求和次序时，应另行核验条件。

7.5 截断误差与迭代中的累积修正

设一个计算过程产生标量更新\(\theta_{k+1}=\theta_k+d_k\)。对任意有限\(N\)，恒有 \[\theta_N=\theta_0+\sum_{k=0}^{N-1}d_k.\] 因此参数是否收敛是修正量级数是否收敛的问题。\(d_k\to0\)只表示单步变化越来越小；它不保证所有后续变化的总和很小。取\(d_k=1/(k+1)\)便得到单步趋零而参数无界的过程。

命题 7.24 (可求和修正与尾部控制). 若\(|d_k|\le C/(k+1)^p\)，其中\(C>0\)、\(p>1\)，则\(\theta_k\)收敛到某个\(\theta_*\)，且对\(N\ge1\)有 \[|\theta_* -\theta_N|\le\frac{C}{p-1}N^{1-p}.\]

证明. Proof. 修正量级数受收敛的\(p\)级数绝对控制，所以收敛。尾和满足 \[\sum_{k=N}^{\infty}|d_k| \le C\sum_{j=N+1}^{\infty}j^{-p} \le C\int_N^{\infty}x^{-p}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x,\] 计算积分即得结论。 ◻

这一命题刻画序列的有限总变动，却没有断言极限\(\theta_*\)是目标函数的最优点。例如\(d_k=0\)使参数从一开始就不动，它可以停在任意位置。算法分析还需结合更新方向和目标函数结构，这将在第13章讨论。

例 7.25 (有限观测量与无穷尾部). 设一次近似计算的第\(k\)步误差为\(e_k\)，已证明\(|e_k|\le0.02/(k+1)^2\)。累计误差从第\(N\)步以后的绝对值不超过\(0.02/N\)。下表来自该理论界，而非对未知尾部逐项测量。

已保留步数\(N\)	\(20\)	\(100\)	\(1000\)
剩余误差上界	\(10^{-3}\)	\(2\times10^{-4}\)	\(2\times10^{-5}\)

如果只能观察前\(100\)步满足该界，便不能自动把界延伸到所有\(k\)。有限数据可以检验已运行区间，针对无穷尾部的保证必须来自算法结构、解析估计或明确的数学假设。

另一个常见量是正数序列\(\eta_k=c/(k+1)^p\)。积分判别法直接给出 \[\sum\eta_k=+\infty\ \Longleftrightarrow\ p\le1\quad(p>0),\qquad \sum\eta_k^2<\infty\ \Longleftrightarrow\ p>\tfrac12.\] 于是\(1/2<p\le1\)能同时满足”本身不可求和、平方可求和”。这只是关于步长序列的两个数学事实；若要据此讨论带随机噪声的训练收敛，还需要概率论和相应算法假设，不能仅凭这两条级数条件下结论。

先列出所有反常点或确定部分和；检查符号以及必要条件；选择主导量完成收敛性证明；最后用比较积分、交错余项或显式求和控制截断误差。报告近似值时，同时写明截断位置和误差界适用的条件。

7.6 知识回顾与分层习题

反常积分把有限积分的端点推向反常点，级数把有限部分和的项数推向无穷。非负情形以单调有界和比较为主，一般符号情形需区分绝对控制与振荡抵消。通项趋零、局部增量很小和若干截断值接近，都弱于Cauchy准则要求的”所有足够远的尾部都小”。

基础题

1. 判断\(\int_0^1x^{-2/3}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)与\(\int_1^{+\infty}x^{-2/3}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)的敛散性；收敛时求值。

2. 讨论\(\int_0^{+\infty}(1+x)^{-p}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)，并在收敛时求从\(A\)起的尾积分。

3. 判断\(\sum_{n=1}^{\infty}(3n+2)/(n^3+1)\)与\(\sum_{n=1}^{\infty}n^2/2^n\)的敛散性，注明所用判别法。

4. 求一个整数\(N\)，使\(\sum_{n=1}^Nn^{-3}\)逼近无穷和的误差不超过\(10^{-4}\)。

5. 讨论\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}/\sqrt n\)的绝对收敛与条件收敛，并给出第\(N\)个余项界。

6. 判断命题”若\(\int_1^{+\infty}f\)收敛，则\(f(x)\to0\)“与”若\(\sum a_n\)收敛，则\(a_n\to0\)“，分别说明依据。

推理题

1. 证明\(\sum_{n=2}^{\infty}1/[n(\log n)^q]\)收敛当且仅当\(q>1\)。

2. 证明：若\(a_n\ge0\)且\(\sum a_n\)收敛，则\(\sum a_n^2\)收敛；反向命题是否成立？

3. 设\(f\ge0\)在\([1,+\infty)\)连续且单调不增，\(\int_1^{+\infty}f<\infty\)。证明\(xf(x)\to0\)。

4. 用分部积分证明\(\int_A^{+\infty}\sin x/x\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)的绝对值不超过\(2/A\)，其中\(A>0\)。

拓展题

1. 设标量序列满足\(|\theta_{k+1}-\theta_k|\le Cq^k\)，\(0<q<1\)。证明其收敛并给出尾部误差界；再给出一个收敛但不满足\(\sum|\theta_{k+1}-\theta_k|<\infty\)的序列。

2. 讨论\(\int_0^{1/\mathrm e}x^{-p}|\log x|^{-q}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)的敛散性，其中\(p,q\in\mathbb{R}\)。要求区分\(p<1\)、\(p=1\)与\(p>1\)。

7.7 本章选题解答

7.7.0.0.1 第1题

零点处指数\(2/3<1\)，积分收敛，且\(\int_0^1x^{-2/3}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=[3x^{1/3}]_0^1=3\)。无穷远处指数\(2/3\le1\)，截断积分为\(3(A^{1/3}-1)\to+\infty\)，故发散。同一个幂函数在两个反常点有不同结论。

7.7.0.0.2 第2题

有限端点\(0\)没有奇性。令\(u=1+x\)，得到\(\int_1^{+\infty}u^{-p}\,\mathop{}\!\mathrm{d}u\)，故\(p>1\)时收敛，其余情形发散。收敛时尾积分为\((1+A)^{1-p}/(p-1)\)。

7.7.0.0.3 第4题

积分余项界给出\(0<R_N\le\int_N^{+\infty}x^{-3}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=1/(2N^2)\)。要使该界不超过\(10^{-4}\)，只需\(N\ge\sqrt{5000}\)，故\(N=71\)可行。这里求得的是由该上界保证精度的整数，不声称它是实际误差意义下的最小整数。

7.7.0.0.4 第5题

\(1/\sqrt n\)单调趋于零，Leibniz判别法保证原级数收敛，且\(|R_N|\le1/\sqrt{N+1}\)。绝对值级数是\(p=1/2\)的\(p\)级数，发散，所以原级数条件收敛。

7.7.0.0.5 第7题

取\(f(x)=1/[x(\log x)^q]\)，\(x\ge2\)。其导数的符号由\(-(1+q/\log x)\)决定，对每个固定\(q\)最终为负，故可以删去有限段后用积分判别法。换元\(u=\log x\)将积分化为\(\int_{\log2}^{+\infty}u^{-q}\,\mathop{}\!\mathrm{d}u\)，收敛当且仅当\(q>1\)。指出最终单调性，才能完整满足积分判别法的假设。

7.7.0.0.6 第8题

收敛保证\(a_n\to0\)，故最终\(0\le a_n\le1\)，从而\(a_n^2\le a_n\)。比较判别法说明平方级数收敛。反向不成立：\(a_n=1/n\)时平方级数收敛，而原级数发散。

7.7.0.0.7 第9题

对\(x\ge2\)，单调性给出 \[\frac{x}{2}f(x)\le\int_{x/2}^{x}f(t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}t.\] 右侧是收敛反常积分的尾部，趋于零。由非负性及夹逼定理得\(xf(x)\to0\)。这里的单调性把单点高度与邻近区间面积联系起来，因而排除了越来越窄的尖峰。

7.7.0.0.8 第10题

先在\([A,B]\)上分部积分： \[\int_A^B\frac{\sin x}{x}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x =-\frac{\cos B}{B}+\frac{\cos A}{A}-\int_A^B\frac{\cos x}{x^2}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x.\] 右侧最后一项绝对收敛，令\(B\to+\infty\)后得到尾积分存在，且绝对值不超过\(1/A+\int_A^{+\infty}x^{-2}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=2/A\)。

7.7.0.0.9 第11题

对\(m>n\)有\(|\theta_m-\theta_n|\le C\sum_{k=n}^{m-1}q^k\le Cq^n/(1-q)\)，由Cauchy准则得到收敛，令\(m\to\infty\)即为尾部误差界。反例可取\(\theta_n=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}/k\)：它收敛，但相邻差绝对值之和为调和级数。

7.7.0.0.10 第12题

令\(t=-\log x\)，截断换元后原积分对应 \[\int_1^{+\infty}\mathrm e^{(p-1)t}t^{-q}\,\mathop{}\!\mathrm{d}t.\] 当\(p<1\)，指数衰减快于任何固定幂次的增长，因此最终受常数倍\(t^{-2}\)控制，收敛；当\(p>1\)，被积函数最终大于\(1\)，发散；当\(p=1\)，化为\(p\)型积分\(\int_1^{+\infty}t^{-q}\,\mathop{}\!\mathrm{d}t\)，当且仅当\(q>1\)收敛。