12 重积分与含参积分
先修内容为第6章的Riemann积分与微积分基本定理、第9章的多元连续性，以及第10章的Jacobian和链式法则。本章要求从区域分割理解二重、三重积分；根据积分区域选择次序和坐标；在明确连续性条件下交换积分与参数求导；用连续平方误差连接函数近似。末节关于期望与风险的段落为后续选读，需先学习概率密度与期望，不纳入本章必修证明及习题要求。
定积分把一条区间上的局部量累积起来，重积分把这一思想推广到平面区域与空间区域。含参积分则把积分结果看成参数的函数，研究其连续性和变化率。二者共同要求区分积分变量、参数与区域：改变积分次序是在同一区域上重新组织计算，改变坐标须同步改变面积或体积元素，改变参数则可能同时改变被积函数与积分边界。
12.1 二重积分的定义与基本性质
12.1.1 从小矩形的累积到极限
设 \(R=[a,b]\times[c,d]\)，在两个坐标方向分别作有限分割，得到小矩形 \(R_{ij}\)，面积为 \(\Delta x_i\Delta y_j\)。在每个小矩形内任取标记点 \(\xi_{ij}\)，构造和式 \[S(P,\xi)=\sum_{i,j}f(\xi_{ij})\Delta x_i\Delta y_j.\] 若当分割的最大直径趋于零时，和式趋于一个与分割、标记点无关的有限值，就称有界函数 \(f\) 在 \(R\) 上Riemann可积，并记积分为 \(\iint_Rf(x,y)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathop{}\!\mathrm{d}y\)。与一元情形相同，可用每个小矩形上的上确界、下确界定义上和、下和；二者之差可以任意小，是可积的等价条件。
为处理三角形、圆盘等区域，称有界集合的边界为面积为零的边界，如果对任意 \(\varepsilon>0\)，都可用有限个矩形覆盖该边界，并使这些矩形面积之和小于 \(\varepsilon\)。本章使用的紧区域 \(D\) 均具有此性质；多边形及分段光滑曲线围成的有界区域满足这个条件。选取包含 \(D\) 的矩形 \(R\)，将 \(f\) 在 \(R\setminus D\) 上补成零，所得函数记为 \(\widetilde f\)；若它在 \(R\) 上可积，就定义 \[\iint_Df\,\mathop{}\!\mathrm{d}A=\iint_R\widetilde f\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathop{}\!\mathrm{d}y.\] 其中 \(\mathop{}\!\mathrm{d}A\) 是面积元素的简记。零延拓的积分与所选外接矩形无关，边界上的有界取值改变也不影响积分。
定理 12.1 (连续函数在常规紧区域上可积). 设 \(D\subset\mathbb{R}^2\) 非空、紧且边界面积为零，\(f\) 在 \(D\) 上连续，则 \(f\) 在 \(D\) 上Riemann可积。
证明. Proof. 由紧性，\(f\) 有界且一致连续，设 \(|f|\le M\)。给定 \(\varepsilon>0\)，先以总面积任意小的有限矩形覆盖边界，再选足够细的矩形网格，使与边界相交的网格小矩形的总面积小于预先给定的 \(\eta\)。这一步可将有限覆盖稍向外扩张，再令网格直径小于扩张余量来保证。
不与边界相交的小矩形，或者位于区域外，其零延拓的振幅为零；或者位于区域内，由一致连续性，其振幅可统一控制为 \(\varepsilon/(2|R|)\)。边界网格上，零延拓的振幅至多为 \(2M\)。故上和与下和之差不超过 \(\varepsilon/2+2M\eta\)。取 \(\eta<\varepsilon/(4M)\) 即可；\(M=0\) 时结论直接成立。由上、下和判据可积。 ◻
命题 12.2 (线性、保序与绝对值估计). 若 \(f,g\) 在 \(D\) 上可积，\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)，则 \[\iint_D(\alpha f+\beta g)\,\mathop{}\!\mathrm{d}A =\alpha\iint_Df\,\mathop{}\!\mathrm{d}A+\beta\iint_Dg\,\mathop{}\!\mathrm{d}A.\] 若 \(f\le g\)，则积分亦保持此大小关系，并且 \[\left|\iint_Df\,\mathop{}\!\mathrm{d}A\right|\le\iint_D|f|\,\mathop{}\!\mathrm{d}A \le |D|\sup_D|f|,\] 其中 \(|D|=\iint_D1\,\mathop{}\!\mathrm{d}A\) 为区域面积。若 \(D\) 分成有限个内部互不相交、公共边界面积为零的可积子区域，则积分具有区域可加性。
证明. Proof. 线性性由各Riemann和的线性及极限运算得到。保序性由每个和式的逐项不等式取极限得到。利用 \(-|f|\le f\le|f|\le\sup_D|f|\) 得到绝对值估计。区域可加性可将各子区域的分割合并，共同边界所占的总面积可任意缩小，因有界性，其贡献趋于零。 ◻
例 12.3 (二维平均值的量纲). 在单位正方形 \(D=[0,1]^2\) 上，\(f(x,y)=x+y\) 表示一个随位置变化的标量场。将每条边等分为 \(n\) 段，取每个小格中心，和式为 \[\frac1{n^2}\sum_{i,j=1}^n\left(\frac{i-1/2}{n}+\frac{j-1/2}{n}\right)=1.\] 所以积分等于 \(1\)，又因区域面积为 \(1\)，区域平均值也是 \(1\)。若将空间坐标的长度单位改变，面积元必须按平方比例变化；一般区域上的积分与平均值相差面积因子，不能因单位正方形上的数值相同而混淆两者。
命题 12.4 (积分平均值). 若 \(D\) 是面积为正的紧连通区域，边界面积为零，\(f\) 在 \(D\) 上连续，则存在 \(\xi\in D\)，使 \[\iint_Df\,\mathop{}\!\mathrm{d}A=f(\xi)|D|.\]
证明. Proof. 设最小值、最大值为 \(m,M\)，保序性给出 \(m\le |D|^{-1}\iint_Df\le M\)。连续函数将连通集映为区间，且达到 \(m,M\)，故该平均值必等于某点的函数值。 ◻
连通性在最后一步起作用。若区域由两个不相交、面积相同的闭圆盘组成，函数在两盘分别恒为 \(0\) 和 \(2\)，则区域平均值为 \(1\)，却没有任何点取该值。估计 \(m|D|\le\iint_Df\le M|D|\) 仍然成立，失效的是”等于某一点的函数值”这一更强结论。
12.2 累次积分、区域描述与交换次序
定理 12.5 (矩形上的累次积分公式). 设有界函数 \(f\) 在 \(R=[a,b]\times[c,d]\) 上Riemann可积，且对每个 \(x\in[a,b]\)，切片函数 \(y\mapsto f(x,y)\) 在 \([c,d]\) 上可积。则 \[h(x)=\int_c^df(x,y)\,\mathop{}\!\mathrm{d}y\] 在 \([a,b]\) 上可积，并有 \[\begin{equation} \label{eq:12-fubini} \iint_Rf(x,y)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathop{}\!\mathrm{d}y= \int_a^b\left(\int_c^df(x,y)\,\mathop{}\!\mathrm{d}y\right)\mathop{}\!\mathrm{d}x. \end{equation}\] 若另一方向的所有切片也可积，则还可交换次序。特别地，连续函数满足全部条件。
证明. Proof. 对乘积分割 \(P_x\times P_y\)，记 \(R_{ij}\) 上的下确界、上确界为 \(m_{ij},M_{ij}\)。若 \(x\) 位于第 \(i\) 个横向子区间，则 \[\sum_jm_{ij}\Delta y_j\le h(x)\le\sum_jM_{ij}\Delta y_j.\] 因此关于 \(h\) 的一元下和与上和，分别夹在 \(f\) 的二元下和与上和之间。由于 \(f\) 可积，存在乘积分割使二元上、下和之差任意小，于是 \(h\) 的上、下和之差也任意小，\(h\) 可积。再由同一夹逼关系，两个积分值相等。 ◻
对于 \[D=\{(x,y):a\le x\le b,\ \alpha(x)\le y\le\beta(x)\},\] 若 \(\alpha,\beta\) 连续且 \(\alpha\le\beta\)，\(f\) 在 \(D\) 上连续，则 \[\begin{equation} \label{eq:12-normal} \iint_Df\,\mathop{}\!\mathrm{d}A=\int_a^b\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x,y)\,\mathop{}\!\mathrm{d}y\mathop{}\!\mathrm{d}x. \end{equation}\] 证明可将 \(f\) 在外接矩形上补零：每个竖直切片至多在端点产生间断，仍可积，再使用上面的定理。横向描述的公式同理。区域的上下边界若分段改变，应将外层区间相应分段。
例 12.6 (三角形上的两种积分次序). 令 \(D=\{x\ge0,y\ge0,x+y\le1\}\)。按先 \(y\) 后 \(x\) 的次序， \[\iint_D(x+2y)\,\mathop{}\!\mathrm{d}A =\int_0^1\int_0^{1-x}(x+2y)\,\mathop{}\!\mathrm{d}y\mathop{}\!\mathrm{d}x =\int_0^1(1-x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=\frac12.\] 按先 \(x\) 后 \(y\) 的次序， \[\int_0^1\int_0^{1-y}(x+2y)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathop{}\!\mathrm{d}y =\int_0^1\left(\frac12+y-\frac32y^2\right)\mathop{}\!\mathrm{d}y=\frac12.\] 两次计算使用的是同一三角形。交换次序时，内层边界必须由新外层变量表示；不能只交换两个微分符号而保留原上下限。
例 12.7 (交换次序避开非初等原函数). 计算 \[I=\int_0^1\int_x^1e^{y^2}\,\mathop{}\!\mathrm{d}y\mathop{}\!\mathrm{d}x.\] 先对 \(y\) 积分没有初等原函数，但区域为 \(0\le x\le y\le1\)，可以改写为 \[I=\int_0^1\int_0^y e^{y^2}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathop{}\!\mathrm{d}y =\int_0^1ye^{y^2}\,\mathop{}\!\mathrm{d}y=\frac{e-1}{2}.\] 关键不是寻找更复杂的积分技巧，而是使被积函数中容易处理的变量成为内层变量。积分结果的存在与能否写出初等原函数是两件事。
在矩形上，若 \(f(x,y)=p(x)q(y)\)，则二重积分可分成两个一元积分的乘积。在三角形或圆盘上，变量受到区域约束，即使被积函数能分离，通常也不能把区域积分直接拆成乘积。例如单位三角形上的 \(\iint_D1\,\mathop{}\!\mathrm{d}A=1/2\)，而两个 \([0,1]\) 区间上常数积分的乘积为 \(1\)。
12.3 坐标变换与Jacobian面积因子
12.3.1 从线性变换理解面积缩放
线性映射 \((u,v)\mapsto(x,y)=A(u,v)^{\mathsf T}\) 将单位正方形变为由 \(A\) 的两列张成的平行四边形，面积为 \(|\det A|\)。行列式的符号记录定向，面积只取绝对值。因此二维换元的面积因子必须为非负数。
定理 12.8 (二重积分换元公式). 设 \(U,V\subset\mathbb{R}^2\) 为开集，\(T:U\to V\) 为一一对应的 \(C^1\) 映射，逆映射亦为 \(C^1\)。设 \(E\subset U\) 为边界面积为零的紧区域，\(D=T(E)\)，\(f\) 在 \(D\) 上连续，则 \[\begin{equation} \label{eq:12-change} \iint_Df(x,y)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathop{}\!\mathrm{d}y =\iint_Ef(T(u,v))\left|\det J_T(u,v)\right|\,\mathop{}\!\mathrm{d}u\mathop{}\!\mathrm{d}v. \end{equation}\]
换元公式的核心是局部线性近似：在小矩形上，\(T\) 与其导数决定的仿射映射之差，相对于小矩形的直径一致趋于零；相应的面积缩放趋于 \(|\det J_T|\)。将区域内部的小格求和，并将边界格的面积贡献控制为趋于零，即得到式[eq:12-change]。线性情形面积缩放精确成立；一般情形必须经过分割极限，不能把有限曲边小块直接等同于它的切平行四边形。该定理的完整一般证明还需建立曲边区域面积的逼近，本章应用时逐项核对可逆性、区域对应与面积因子。
例 12.9 (斜坐标把平行四边形变成矩形). 设 \(D\) 由 \(0\le x+y\le2\)、\(0\le x-y\le1\) 确定，计算 \(\iint_D(x+y)^2\,\mathop{}\!\mathrm{d}A\)。取 \(u=x+y,v=x-y\)，反解为 \[x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2},\qquad \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=-\frac12.\] 新区域为 \(0\le u\le2,0\le v\le1\)，所以 \[\iint_D(x+y)^2\,\mathop{}\!\mathrm{d}A =\frac12\int_0^2\int_0^1u^2\,\mathop{}\!\mathrm{d}v\mathop{}\!\mathrm{d}u=\frac43.\] 这里使用的是逆变换 \((u,v)\mapsto(x,y)\) 的行列式；若计算了正向行列式，就必须取其倒数再取绝对值。直接保留负号会产生非负函数积分为负的明显矛盾。
12.3.2 极坐标与原点的处理
对 \(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)，计算得 \[J_T=\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix},\qquad \det J_T=r.\] 故极坐标面积元为 \(r\,\mathop{}\!\mathrm{d}r\mathop{}\!\mathrm{d}\theta\)。在原点以及一周角度的接缝处，坐标变换不是全局一一对应的光滑逆映射。对半径 \(R\) 的圆盘及有界连续被积函数，先在参数紧矩形 \(\varepsilon\le r\le R\)、\(\delta\le\theta\le2\pi-\delta\) 上应用换元公式，其像是闭扇环。在该紧矩形的某开邻域上，极坐标映射具有光滑逆映射，因而满足定理条件。设被积函数绝对值不超过 \(M\)，遗漏的小圆盘与窄扇形的积分绝对值之和不超过 \(M(\pi\varepsilon^2+R^2\delta)\)。最后令 \(\varepsilon,\delta\downarrow0\)，便得到整个圆盘的极坐标积分公式。
例 12.10 (圆盘上的径向积分). 在 \(D=\{x^2+y^2\le R^2\}\) 上， \[\iint_D(x^2+y^2)\,\mathop{}\!\mathrm{d}A =\int_0^{2\pi}\int_0^Rr^2\,r\,\mathop{}\!\mathrm{d}r\mathop{}\!\mathrm{d}\theta =\frac{\pi R^4}{2}.\] 除以面积 \(\pi R^2\)，得到距原点平方的区域平均值为 \(R^2/2\)。若漏掉面积因子 \(r\)，会得到关于 \(R\) 的三次量，连量纲都与”平方距离乘面积”不符。因子 \(r\) 表示相同角宽的扇形在外圈覆盖更大的面积。
12.4 三重积分与空间累积
三重积分用小长方体体积替代小矩形面积。对有界、边界体积为零的紧区域 \(\Omega\subset\mathbb{R}^3\)，连续函数的积分记作 \(\iiint_\Omega f\,\mathop{}\!\mathrm{d}V\)。连续函数可积、线性、保序、区域可加及累次积分公式均有相同的三维版本，其证明仍以振幅和、切片夹逼与有限分割为基础。
若 \(\Omega\) 在 \(xy\) 平面的投影为 \(D\)，且对每个 \((x,y)\in D\) 有 \(\alpha(x,y)\le z\le\beta(x,y)\)，则在边界函数连续、被积函数连续的条件下， \[\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathop{}\!\mathrm{d}V =\iint_D\left(\int_{\alpha(x,y)}^{\beta(x,y)}f(x,y,z)\,\mathop{}\!\mathrm{d}z\right)\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathop{}\!\mathrm{d}y.\] 应先写投影区域，再写垂直于投影平面的上下边界。画不出精细立体图时，不等式描述仍然可以完整确定积分次序。
例 12.11 (四面体上的体积与一次函数积分). 设 \(\Omega=\{x,y,z\ge0,x+y+z\le1\}\)。固定 \(z\) 后，截面为 \(x,y\ge0,x+y\le1-z\) 的直角三角形，面积为 \((1-z)^2/2\)。故 \[|\Omega|=\frac12\int_0^1(1-z)^2\,\mathop{}\!\mathrm{d}z=\frac16, \qquad \iiint_\Omega z\,\mathop{}\!\mathrm{d}V=\frac12\int_0^1z(1-z)^2\,\mathop{}\!\mathrm{d}z=\frac1{24}.\] 区域关于三个坐标对称，故 \(x,y\) 的积分也各为 \(1/24\)。于是 \[\iiint_\Omega(x+y+z)\,\mathop{}\!\mathrm{d}V=\frac18,\] 相应的区域平均值为 \((1/8)/(1/6)=3/4\)。这里的对称性必须同时属于区域与变量交换，不能仅凭被积函数的外形判断。
柱坐标 \(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta,z=z\) 的体积元为 \(r\,\mathop{}\!\mathrm{d}r\mathop{}\!\mathrm{d}\theta\mathop{}\!\mathrm{d}z\)。球坐标取 \[x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,\] 其中 \(\rho\ge0,0\le\varphi\le\pi,0\le\theta<2\pi\)，体积元为 \(\rho^2\sin\varphi\,\mathop{}\!\mathrm{d}\rho\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi\mathop{}\!\mathrm{d}\theta\)。不同书籍可能交换两个角的记号，使用前须根据坐标公式确定哪个是与正 \(z\) 轴的夹角。
例 12.12 (球体中的径向累积). 在半径 \(R\) 的球 \(B_R\) 内，令 \(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\)。球坐标给出 \[\iiint_{B_R}f\,\mathop{}\!\mathrm{d}V =\left(\int_0^R\rho^4\,\mathop{}\!\mathrm{d}\rho\right) \left(\int_0^\pi\sin\varphi\,\mathop{}\!\mathrm{d}\varphi\right) \left(\int_0^{2\pi}\mathop{}\!\mathrm{d}\theta\right) =\frac{4\pi R^5}{5}.\] 这里 \(\rho^2\) 来自被积函数，另一个 \(\rho^2\) 来自体积元素。将积分除以球体积 \(4\pi R^3/3\)，得平方距离的体积平均为 \(3R^2/5\)，与二维圆盘的 \(R^2/2\) 不同。
12.5 含参积分的连续性与求导
12.5.1 固定边界：统一控制差商
设积分变量为 \(x\)，参数为 \(t\)，定义 \[F(t)=\int_a^bf(x,t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x.\] 尽管最后只留下 \(t\)，积分号内的 \(x\) 与 \(t\) 起不同作用。参数求导能否移入积分号，取决于一族差商的整体行为，不能只检查每个固定 \(x\) 处的形式导数。
定理 12.13 (紧矩形上的连续性与参数求导). 若 \(f\) 在 \([a,b]\times[c,d]\) 上连续，则 \(F\) 在 \([c,d]\) 上连续。若进一步偏导数 \(f_t\) 在同一矩形上存在且连续，则 \(F\) 在 \((c,d)\) 可导，且 \[\begin{equation} \label{eq:12-leibniz} F'(t)=\int_a^bf_t(x,t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x. \end{equation}\]
证明. Proof. 由一致连续性，当 \(t\to t_0\) 时，\(\sup_{a\le x\le b}|f(x,t)-f(x,t_0)|\to0\)。因此 \[|F(t)-F(t_0)|\le(b-a)\sup_x|f(x,t)-f(x,t_0)|\to0.\] 对内部参数点 \(t\)，当 \(h\) 足够小时，一元基本定理给出 \[\frac{f(x,t+h)-f(x,t)}h-f_t(x,t) =\int_0^1\bigl(f_t(x,t+sh)-f_t(x,t)\bigr)\,\mathop{}\!\mathrm{d}s.\] 由 \(f_t\) 一致连续，右端对全部 \(x\in[a,b]\) 一致趋于零。将此差商误差积分，其绝对值不超过 \((b-a)\) 乘以上确界，因此可将极限移入积分，得到求导公式。 ◻
该定理给出方便检验的充分条件，不声称连续偏导是唯一可能条件。对于无界区间或奇异被积函数，紧矩形上的一致连续论证不再自动成立，需要另行控制尾部和奇异点。本章的必修计算均在可明确检查的有限区间上进行。
例 12.14 (没有初等积分式仍可求参数导数). 对 \(t>-1\)，定义 \[F(t)=\int_0^1\frac{\ln(1+tx)}x\,\mathop{}\!\mathrm{d}x,\] 其中 \(x=0\) 的被积函数按连续延拓取值 \(t\)。在任意紧参数区间 \([c,d]\subset(-1,\infty)\) 上，被积函数及其参数偏导连续，且 \[f_t(x,t)=\frac1{1+tx},\qquad F'(t)=\begin{cases}\dfrac{\ln(1+t)}t,&t\ne0,\\1,&t=0.\end{cases}\] 在 \(t=0\)，直接积分 \(f_t(x,0)=1\) 得到 \(F'(0)=1\)，与商式的连续延拓一致。再求一次参数导数，可得 \(F''(0)=-\int_0^1x\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=-1/2\)。因此在零点附近有 \(F(t)=t-t^2/4+o(t^2)\)，无需先求出原积分的初等表达式。
12.5.2 变动边界：两个端点的贡献
定理 12.15 (变上下限的参数积分). 设 \(\alpha,\beta\) 在开区间 \(I\) 上为 \(C^1\)，\(f(x,t)\) 与 \(f_t(x,t)\) 在所有相关积分段附近连续。则 \[G(t)=\int_{\alpha(t)}^{\beta(t)}f(x,t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\] 可导，且 \[\begin{equation} \label{eq:12-moving} G'(t)=f(\beta(t),t)\beta'(t)-f(\alpha(t),t)\alpha'(t) +\int_{\alpha(t)}^{\beta(t)}f_t(x,t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x. \end{equation}\]
证明. Proof. 在任意固定参数点附近，选择常数 \(x_0\)，使所有端点落在同一有限区间内。令 \(H(u,t)=\int_{x_0}^u f(x,t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)。基本定理给出 \(H_u=f(u,t)\)，固定端点参数求导定理给出 \(H_t=\int_{x_0}^u f_t(x,t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)，两偏导连续。将 \(G(t)=H(\beta(t),t)-H(\alpha(t),t)\) 代入链式法则，整理即得。 ◻
例 12.16 (运动边界与内部变化同时存在). 令 \(G(t)=\int_0^{t^2}e^{tx}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)。上端点速度为 \(2t\)，内部偏导为 \(xe^{tx}\)，所以 \[G'(t)=2t e^{t^3}+\int_0^{t^2}xe^{tx}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x.\] 在 \(t=0\)，右端为零。对 \(t\ne0\) 可直接积分得 \(G(t)=(e^{t^3}-1)/t\)，由指数展开又有 \(G(t)=t^2+\frac12t^5+O(t^8)\)，同样得到 \(G'(0)=0\)。单独对被积函数求导会漏掉 \(2te^{t^3}\)；只计算端点变化则会漏掉积分中的参数效应。
在 \(0\le x\le1\) 上，对 \(x>0,t>0\) 定义 \(f(x,t)=t/(t^2+x^2)\)，另令 \(f(0,t)=0\) 及 \(f(x,0)=0\)。于是对每个固定 \(x\in[0,1]\)，均有 \(f(x,t)\to0\)。对每个固定 \(t>0\)，端点 \(x=0\) 处的单点取值修改不影响Riemann积分，故仍有 \[\int_0^1f(x,t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=\arctan(1/t)\longrightarrow\frac\pi2.\] 参数趋于零时，函数在原点附近形成越来越窄而高的峰。它不满足紧矩形上的连续性条件，积分结果也不趋于 \(t=0\) 处的积分零。积分运算能否与极限交换，必须检查控制条件。
12.6 融合阅读：连续平方近似与后续选读
12.6.1 确定性的连续近似目标
在固定区间 \([a,b]\) 上，设目标函数 \(g\) 连续，近似族为 \[p_\theta(x)=\sum_{j=0}^m\theta_j\phi_j(x),\] 其中基函数 \(\phi_j\) 连续。可定义连续平方误差 \[Q(\theta)=\frac12\int_a^b\bigl(p_\theta(x)-g(x)\bigr)^2\,\mathop{}\!\mathrm{d}x.\] 它衡量整个区间上的累积误差，完全是确定性的函数近似问题。由于积分区间有限、基函数连续，关于参数的求导可以移入积分，得到 \[\partial_iQ=\int_a^b(p_\theta-g)\phi_i\,\mathop{}\!\mathrm{d}x, \qquad \partial_i\partial_jQ=\int_a^b\phi_i\phi_j\,\mathop{}\!\mathrm{d}x.\] 令 \(G_{ij}=\int_a^b\phi_i\phi_j\)、\(c_i=\int_a^bg\phi_i\)，驻点满足线性方程 \(G\theta=c\)。对任意向量 \(v\)， \[v^{\mathsf T}Gv=\int_a^b\left(\sum_jv_j\phi_j(x)\right)^2\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\ge0.\] 如果基函数在函数意义下线性无关，非零系数组合是非零连续函数，在某个小区间上其绝对值具有正下界，故上式严格为正。这时 \(G\) 正定，存在唯一最优系数。
例 12.17 (用直线逼近一个二次函数). 在 \([-1,1]\) 上以 \(p(x)=a+bx\) 近似 \(g(x)=x^2\)。由于奇函数在对称区间上的积分为零，正规方程为 \[\begin{pmatrix}2&0\\0&2/3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2/3\\0\end{pmatrix},\] 故 \(a=1/3,b=0\)。最小目标值为 \[Q_* =\frac12\int_{-1}^1(x^2-1/3)^2\,\mathop{}\!\mathrm{d}x =\frac12\left(\frac25-\frac49+\frac29\right)=\frac4{45}.\] 最优直线是水平线，并非把抛物线端点连起来得到的水平线 \(y=1\)。平方积分最优衡量整个区间的误差；插值则要求在指定点精确匹配，两种准则回答不同问题。
将积分用求积公式近似后，会得到有限加权平方和。正权重保留平方误差的非负性与目标的凸性，但有限节点上的最佳系数一般只近似连续目标的最佳系数。若每个矩阵元及右端积分近似收敛，并且极限矩阵正定，才可结合线性方程的连续性说明系数收敛。增加采样点本身不是误差保证，应同时检查节点分布、权重与被积函数的正则性。
12.6.2 后续选读：积分与期望的联系
本段需在概率论课程已定义密度与期望后阅读，不用于本章必修习题。若随机向量 \(X\) 具有非负密度 \(p\)，满足 \(\int p(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=1\)，且 \(\ell(x,\theta)p(x)\) 绝对可积，则其期望可以写为 \[R(\theta)=\mathbb{E}[\ell(X,\theta)]=\int\ell(x,\theta)p(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x.\] 这类量常称期望风险。它与前文连续平方误差相似，都通过积分汇总局部误差，但概率意义依赖密度与随机变量的先修定义。对无界区域，或被积函数无界的情形，参数求导需要可积控制函数等更一般条件；本章紧矩形定理不能直接覆盖所有风险表达式。有限数据平均与期望积分之间的关系，还需要概率论中的抽样与极限定理，不能只由Riemann和的形式相似推出。
12.7 习题、知识回顾与选题解答
分层习题
（基础）计算 \(\iint_{[0,2]\times[0,1]}(x+y^2)\,\mathop{}\!\mathrm{d}A\)，并求区域平均值。
（基础）对 \(D=\{0\le x\le1,x^2\le y\le x\}\)，分别写出两种次序的累次积分，并计算面积。
（基础）通过交换积分次序计算 \(\int_0^1\int_x^1\cos(y^2)\,\mathop{}\!\mathrm{d}y\mathop{}\!\mathrm{d}x\)。
（基础）在圆环 \(1\le x^2+y^2\le4\) 上计算 \(\iint(x^2+y^2)^{-1}\,\mathop{}\!\mathrm{d}A\)。
（基础）计算四面体 \(x,y,z\ge0,x+y+z\le2\) 的体积及 \(\iiint z\,\mathop{}\!\mathrm{d}V\)。
（基础）设 \(F(t)=\int_0^1e^{tx}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)。求 \(F'(0),F''(0)\)，说明参数求导的条件。
（推理）若 \(D\) 为面积正的紧区域，\(f,g\) 连续，证明积分版Cauchy–Schwarz不等式 \((\iint_Dfg)^2\le(\iint_Df^2)(\iint_Dg^2)\)。
（推理）设连续函数 \(f\ge0\)，区域 \(D\) 有非空内部，且 \(\iint_Df=0\)。证明 \(f\) 在 \(D\) 的内部恒为零；若 \(D\) 是其内部的闭包，进一步证明 \(f\) 在全部 \(D\) 上为零。
（推理）对 \(t>0\)，令 \(G(t)=\int_t^{2t}(x+t)^2\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)。分别用变限公式与直接积分求导，核对三个来源的贡献。
（推理）设 \(D\) 为边界面积为零的紧区域，\(f(x,y,t)\) 与 \(f_t\) 在 \(D\times[c,d]\) 上连续。证明 \(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}}{\mathop{}\!\mathrm{d}t}\iint_Df=\iint_Df_t\)，并说明与一元积分参数求导证明的共同部分。
（拓展）在 \([0,1]\) 上用 \(a+bx\) 最小化 \(\frac12\int_0^1(a+bx-x^2)^2\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)。求最优 \(a,b\)，并与对称区间的结果比较。
（拓展）设 \(T(u,v)=(2u+v,u+v)\)，\(E=[0,1]^2\)。计算像区域 \(D=T(E)\) 的面积和 \(\iint_D(x-y)^2\,\mathop{}\!\mathrm{d}A\)；说明正、逆Jacobian各对应哪个方向。
知识回顾
重积分由小区域上的函数值与面积、体积的乘积求和取极限定义。累次积分改变计算组织，换元还要改变面积或体积元素。含参积分的连续性和求导依赖对整个积分区域的统一控制；变动边界额外产生端点项。连续平方近似通过参数求导形成有限线性方程，是积分、微分与有限维模型之间的直接联系。
选题解答
题1. 内层对 \(y\) 积分得 \(x+1/3\)，再在 \([0,2]\) 上积分，得 \(2+2/3=8/3\)。面积为 \(2\)，所以区域平均值为 \(4/3\)。
题2. 原次序为 \(\int_0^1\int_{x^2}^xf(x,y)\,\mathop{}\!\mathrm{d}y\mathop{}\!\mathrm{d}x\)。由 \(x^2\le y\le x\) 得 \(y\le x\le\sqrt y\)，故另一次序为 \(\int_0^1\int_y^{\sqrt y}f(x,y)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathop{}\!\mathrm{d}y\)。面积为 \(\int_0^1(x-x^2)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=1/6\)。
题3. 区域为 \(0\le x\le y\le1\)，交换后得到 \(\int_0^1y\cos(y^2)\,\mathop{}\!\mathrm{d}y=\frac{\sin1}{2}\)。
题4. 极坐标范围为 \(1\le r\le2,0\le\theta\le2\pi\)。积分为 \(\int_0^{2\pi}\int_1^2r^{-1}\,\mathop{}\!\mathrm{d}r\mathop{}\!\mathrm{d}\theta=2\pi\ln2\)。原点不在区域内，径向分母没有奇异性。
题5. 由单位四面体作三维缩放 \((x,y,z)=2(u,v,w)\)，体积因子为 \(8\)，所以体积为 \(8/6=4/3\)。对 \(z\) 的积分再增加被积函数的缩放因子 \(2\)，得到 \(16/24=2/3\)。
题6. 在任意有限参数区间上，\(e^{tx}\) 及其前两阶参数偏导 \(xe^{tx},x^2e^{tx}\) 均连续。故 \(F'(0)=\int_0^1x\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=1/2\)，\(F''(0)=\int_0^1x^2\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=1/3\)。
题7. 记 \(A=\iint_Df^2\)、\(B=\iint_Dfg\)、\(C=\iint_Dg^2\)。对任意实数 \(t\)，平方非负给出 \(A+2Bt+Ct^2\ge0\)。若 \(C>0\)，代入 \(t=-B/C\) 得 \(B^2\le AC\)；若 \(C=0\)，该一次表达式对所有 \(t\) 非负，必有 \(B=0\)，结论仍成立。
题8. 若某内点 \(a\) 满足 \(f(a)>0\)，连续性保证某个完全位于区域内的小圆盘上 \(f\ge f(a)/2>0\)，则该盘上的积分严格为正，保序性使全区域积分也为正，矛盾。若 \(D\) 是内部的闭包，每个边界点均为内点列的极限，再由连续性得到边界函数值也为零。
题9. 上端点贡献为 \(2(3t)^2=18t^2\)，下端点贡献为 \(-(2t)^2=-4t^2\)，内部参数贡献为 \(\int_t^{2t}2(x+t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=5t^2\)，相加为 \(19t^2\)。直接积分得到 \(G(t)=19t^3/3\)，求导一致。
题10. 与定理12.13相同，利用 \(f_t\) 在紧集上的一致连续性，证明参数差商一致收敛于 \(f_t\)。积分后的误差绝对值不超过 \(|D|\) 乘以差商误差的上确界，故趋于零。证明中仅将区间长度换成区域面积，不需要改变差商的核心估计。
题11. 方程为 \(a+b/2=1/3\)、\(a/2+b/3=1/4\)，解得 \(a=-1/6,b=1\)。系数矩阵 \(\begin{pmatrix}1&1/2\\1/2&1/3\end{pmatrix}\) 的行列式为 \(1/12>0\)，故解唯一。区间改变后，常数函数与 \(x\) 不再正交，所以最佳斜率不再为零。
题12. \(J_T=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\)，行列式为 \(1\)，像区域面积仍为 \(1\)。又 \(x-y=u\)，积分为 \(\int_0^1\int_0^1u^2\,\mathop{}\!\mathrm{d}v\mathop{}\!\mathrm{d}u=1/3\)。正向矩阵将 \((u,v)\) 的微小增量变为 \((x,y)\) 的增量；逆矩阵将后者恢复为前者。本题两个行列式数值恰好相同，不能据此认为一般换元中正、逆面积因子相同。