6 定积分、原函数与离散累积
本章从有限求和建立Riemann定积分，说明连续性为什么足以保证可积，以及导数与积分如何通过微积分基本定理相联系。学习后，应能区分定积分和原函数，正确使用换元与分部积分，按积分变量解释累积量及其单位，并能把有限数据求和与连续区间积分作有条件的比较。先修知识包括实数完备性、闭区间一致连续性、导数和中值定理。全章讨论确定性函数与有限数据，不以概率论为先修。
6.1 Riemann和与可积性
6.1.1 分割、标记点与积分定义
设\(f\)在有限区间\([a,b]\)上有界，\(a<b\)。选择分割 \[P:\quad a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b, \qquad \Delta x_k=x_k-x_{k-1},\] 并在每个小区间内选取标记点\(\xi_k\in[x_{k-1},x_k]\)。对应的加权和为 \[S(f;P,\xi)=\sum_{k=1}^n f(\xi_k)\Delta x_k, \qquad |P|=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k.\] 这里\(|P|\)是分割的网格宽度。让小区间个数增加，并不自动保证网格宽度趋于零；如果某个大区间一直没有细分，局部信息仍可能被遗漏。
定义 6.1 (Riemann定积分). 若存在实数\(I\)，使对任意\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta>0\)，只要\(|P|<\delta\)，且各标记点任意选取，就有 \[|S(f;P,\xi)-I|<\varepsilon,\] 则称\(f\)在\([a,b]\)上Riemann可积，记为\(I=\int_a^b f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)。
量词中的”任意分割和任意标记点”排除了仅沿一组特殊采样点得到偶然极限的情形。定积分\(I\)是一个数，与积分变量所用的字母无关；\(\int_a^b f(t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}t\)表示同一个数。非负函数的积分可以解释为曲线下的面积；函数有正有负时，积分记录带符号的累积，不能直接当作几何面积。
例 6.2 (由求和公式计算积分). 对\(f(x)=x^2\)在\([0,1]\)作\(n\)等分，取右端点，得到 \[S_n=\frac1n\sum_{k=1}^n\left(\frac kn\right)^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\longrightarrow\frac13.\] 这个计算首先只说明一组Riemann和的极限为\(1/3\)。要认定它等于定积分，还必须知道\(f\)可积；下文的连续函数可积定理提供这一保证。确定可积之后，任何网格趋于零的标记和都具有同一极限，上述右端点取法便可用于计算。
6.1.2 上下和与可积判别
在每个小区间定义 \[m_k=\inf_{[x_{k-1},x_k]}f,\qquad M_k=\sup_{[x_{k-1},x_k]}f,\] 并称\(L(f,P)=\sum m_k\Delta x_k\)为下和，\(U(f,P)=\sum M_k\Delta x_k\)为上和。任意标记和均满足\(L(f,P)\le S(f;P,\xi)\le U(f,P)\)。加密分割只会使下和不减、上和不增；取两个分割的共同加密还可说明任一下和不超过任一上和。
定理 6.3 (Darboux可积判别). 有界函数\(f\)在\([a,b]\)上Riemann可积，当且仅当对任意\(\varepsilon>0\)，存在分割\(P\)使 \[U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon.\] 此时定积分等于所有下和的上确界，也等于所有上和的下确界。
证明. Proof. 若可积，选取网格足够细的一个分割，使其任意标记和与积分之差小于\(\varepsilon/4\)。由于每个小区间的上确界、下确界均可由函数值任意逼近，有限项加权和也可任意逼近相应上下和，所以\(U-L\le\varepsilon/2<\varepsilon\)。
反之，由任一下和不超过任一上和，实数完备性给出 \[I_-:=\sup_P L(f,P)\le\inf_P U(f,P)=:I_+.\] 若上下和之差可以任意小，则\(I_-=I_+=I\)。还需证明任意细分割的标记和趋于\(I\)。固定一个分割\(P_0\)，使\(U(f,P_0)-L(f,P_0)<\varepsilon/2\)。记其内部节点数为\(m\)，并设\(|f|\le B\)。对另一个细分割\(P\)，仅那些跨越\(P_0\)内部节点的小区间在加密为\(P\cup P_0\)后需要改变；这些区间总长度至多\(2m|P|\)。改变标记和造成的绝对差至多\(4Bm|P|\)。共同加密后的任意标记和与\(I\)之差不超过\(U(f,P_0)-L(f,P_0)\)。选取\(|P|\)足够小，使\(4Bm|P|<\varepsilon/2\)，即有\(|S-I|<\varepsilon\)。若\(Bm=0\)，后一项恒为零。由此得到Riemann定义。 ◻
定理 6.4 (两类基本可积函数). 闭区间上的连续函数Riemann可积；闭区间上的有界单调函数也Riemann可积。
证明. Proof. 连续函数在紧区间一致连续。给定\(\varepsilon>0\)，选取足够细的分割，使每个小区间内函数的振幅\(M_k-m_k<\varepsilon/(b-a)\)，于是\(U-L<\varepsilon\)。
对单调不减函数，取\(n\)等分，则各小区间的上下确界分别为端点值。因此 \[U-L=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^n[f(x_k)-f(x_{k-1})] =\frac{b-a}{n}[f(b)-f(a)]\longrightarrow0.\] 单调不增情形可对\(-f\)使用相同论证。 ◻
例 6.5 (可积不要求连续，有限采样不保证可积). 函数\(f(x)=0\)（\(0\le x<1/2\)）、\(f(x)=1\)（\(1/2\le x\le1\)）单调且有界，故可积，积分为\(1/2\)。分割中只有含跳跃点的小区间可能产生非零振幅，其宽度可以任意小。
与之不同，在\([0,1]\)定义\(D(x)=1\)（\(x\in\mathbb{Q}\)）、\(D(x)=0\)（\(x\notin\mathbb{Q}\)）。任意非退化小区间都含有有理数和无理数，所以每个分割都有\(U(D,P)=1\)、\(L(D,P)=0\)，函数不可积。若只在有理标记点采样，所得和总为\(1\)；只在无理标记点采样，所得和总为\(0\)。两组采样各自稳定不能替代对任意标记点的要求。
6.2 积分性质、平均值与几何量
定理 6.6 (定积分的基本性质). 设\(f,g\)在\([a,b]\)可积，\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)，则下列结论成立。
\(\alpha f+\beta g\)可积，且其积分等于\(\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g\)。
对任意\(c\in(a,b)\)，函数在两个子区间上可积，且 \(\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f\)。
若\(f\le g\)，则\(\int_a^b f\le\int_a^b g\)；若\(|f|\le M\)，则\(|\int_a^b f|\le M(b-a)\)。
\(|f|\)可积，且\(|\int_a^b f|\le\int_a^b|f|\)。
证明. Proof. 线性性质由标记和的线性及极限运算得到。区间可加性可在分割中加入\(c\)，并把求和拆为两段；反向组合两段分割可验证各自的可积性。保序性来自每个标记和的保序性。对绝对值函数，由 \(\big||f(s)|-|f(t)|\big|\le|f(s)-f(t)|\)，每个小区间中\(|f|\)的振幅不超过\(f\)的振幅，故Darboux判别给出其可积性。再由\(-|f|\le f\le|f|\)及保序性得到积分的绝对值不等式。 ◻
约定\(\int_a^a f=0\)以及\(\int_b^a f=-\int_a^b f\)，区间可加公式便可适用于任意有向端点次序。后续使用保序不等式时仍应先注意积分方向，负向积分不能原样沿用正向区间的不等号。
定理 6.7 (积分中值定理). 设\(f\)在\([a,b]\)连续，\(a<b\)，则存在\(\xi\in[a,b]\)使 \[\int_a^b f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a).\] 若另有连续函数\(w\ge0\)且\(\int_a^b w>0\)，则存在\(\eta\in[a,b]\)使 \[\int_a^b f(x)w(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=f(\eta)\int_a^b w(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x.\]
证明. Proof. 令\(m=\min f\)、\(M=\max f\)。从\(m\le f\le M\)积分后，得到平均值\((b-a)^{-1}\int f\in[m,M]\)。由连续函数的介值性，该值等于某个\(f(\xi)\)。加权情形从\(mw\le fw\le Mw\)出发，积分后除以正数\(\int w\)，再使用介值定理即可。 ◻
连续性在此保证平均值确实被函数取到。上一节的跳跃函数积分平均值为\(1/2\)，但函数只取\(0\)和\(1\)，因此不能对一般可积函数断言一定存在对应的中间点。
例 6.8 (带符号积分与面积). 函数\(f(x)=x\)在\([-1,1]\)是奇函数。由对称性或直接计算，\(\int_{-1}^1x\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=0\)，但曲线与横轴围成的总面积为 \[\int_{-1}^1|x|\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=2\int_0^1x\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=1.\] 正负面积相互抵消只发生在带符号积分中。若\(f\)表示某个时刻的有向速度，积分给出位移；路程则需要对速度的绝对值积分。两者的数学差别来自是否保留符号，而非求积公式的不同。
例 6.9 (平均值及其取值位置). 在\([0,2]\)上，\(f(x)=x^2\)的积分平均值为 \[\overline f=\frac12\int_0^2x^2\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=\frac43.\] 对应的中间点为\(\xi=2/\sqrt3\)，并不等于区间中点\(1\)。若取权函数\(w(x)=x\)，则加权平均值为 \[\frac{\int_0^2x^3\,\mathop{}\!\mathrm{d}x}{\int_0^2x\,\mathop{}\!\mathrm{d}x}=\frac42=2,\] 对应\(\eta=\sqrt2\)。权函数改变了区间各部分对平均值的贡献，这一确定性加权平均无需概率解释。
6.3 变上限积分与微积分基本定理
对固定下限\(a\)，定义 \[F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}t.\] 这里积分上限\(x\)是自变量，积分变量\(t\)只在积分号内起作用。\(F\)描述从\(a\)累积到\(x\)的总量。即使\(f\)没有简单的初等原函数，这一定义仍然有意义。
定理 6.10 (变上限积分的连续性与导数). 若\(f\)在\([a,b]\)可积，则\(F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}t\)在\([a,b]\)连续。若\(f\)在内点\(x_0\)连续，则\(F\)在\(x_0\)可导且\(F'(x_0)=f(x_0)\)。
证明. Proof. 取\(M\)使\(|f|\le M\)，由积分性质， \[|F(y)-F(x)|=\left|\int_x^y f(t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}t\right|\le M|y-x|,\] 所以\(F\)连续。若\(f\)在\(x_0\)连续，则 \[\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}h-f(x_0) =\frac1h\int_{x_0}^{x_0+h}[f(t)-f(x_0)]\,\mathop{}\!\mathrm{d}t.\] 其绝对值不超过以\(x_0\)与\(x_0+h\)为端点的区间内\(|f(t)-f(x_0)|\)的上确界，随\(h\to0\)趋于零。因此差商极限为\(f(x_0)\)。 ◻
定义 6.11 (原函数与不定积分). 若\(G\)在区间\(I\)可导且对每个\(x\in I\)有\(G'(x)=f(x)\)，则称\(G\)为\(f\)在\(I\)上的一个原函数。若\(G\)是一个原函数，则\(f\)的全体原函数写为 \[\int f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=G(x)+C,\] 其中\(C\)为任意常数，左侧称为不定积分。
任意两个原函数之差的导数恒为零，由中值定理，它们在同一区间上只差常数。区间条件不可省略，例如\(1/x\)在\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)上的原函数可以在两侧分别带不同常数。连续函数由变上限积分定理必有原函数，但可积性本身只保证累积函数连续，不能保证在每个点都满足\(F'=f\)。
定理 6.12 (Newton–Leibniz公式). 设\(f\)在\([a,b]\)Riemann可积，\(G\)在\([a,b]\)连续、在\((a,b)\)可导，且\(G'(x)=f(x)\)对内点成立，则 \[\begin{equation} \label{eq:06-nl} \int_a^b f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=G(b)-G(a). \end{equation}\]
证明. Proof. 对任意分割\(P\)，在每个小区间上对\(G\)应用中值定理，存在\(\xi_k\in(x_{k-1},x_k)\)，使 \[G(x_k)-G(x_{k-1})=f(\xi_k)\Delta x_k.\] 把等式相加，左侧相消为\(G(b)-G(a)\)，右侧是\(f\)的一个Riemann和。令网格宽度趋于零，利用\(f\)可积，便得到公式。 ◻
两个基本定理承担不同任务：变上限积分定理从连续函数构造原函数，Newton–Leibniz公式利用已有原函数计算定积分。不定积分是一族函数，定积分是带端点的数值，这两类对象不能混淆。
例 6.13 (没有初等表达式时照样求导). 设\(H(x)=\int_0^{x^2}e^{-t^2}\,\mathop{}\!\mathrm{d}t\)。由于被积函数连续，令\(F(u)=\int_0^u e^{-t^2}\,\mathop{}\!\mathrm{d}t\)，有\(F'(u)=e^{-u^2}\)。再用链式法则， \[H'(x)=2xe^{-x^4}.\] 求导不需要先写出\(e^{-t^2}\)的初等原函数。更一般地，若\(f\)连续且\(u,v\)可导，则 \[\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}}{\mathop{}\!\mathrm{d}x}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}t =f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x),\] 可通过把积分写成两个固定下限积分之差证明。
例 6.14 (跳跃点处的累积函数). 对第一节的跳跃函数\(f\)，\(F(x)=\int_0^x f(t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}t\)为 \[F(x)=\begin{cases}0,&0\le x\le1/2,\\ x-1/2,&1/2<x\le1.\end{cases}\] 函数\(F\)连续，但在\(1/2\)处左右导数分别为\(0\)与\(1\)，所以不可导。被积函数在单个点取什么值不会改变积分，却不能据此任意规定累积函数在尖点处的导数。
6.4 换元、分部积分与原函数计算
原函数计算是逆向求导。观察表达式的复合结构与乘积结构，分别对应换元和分部积分。每次得到候选原函数后，求导检验通常比继续套用公式更直接。
定理 6.15 (定积分换元公式). 设\(f\)在区间\(I\)连续，\(\varphi\in C^1[\alpha,\beta]\)且\(\varphi([\alpha,\beta])\subset I\)，则 \[\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}t =\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x.\]
证明. Proof. 取\(f\)在\(I\)上的一个原函数\(F\)。链式法则给出\([F(\varphi(t))]'=f(\varphi(t))\varphi'(t)\)。两端均使用Newton–Leibniz公式，得到同一个差\(F(\varphi(\beta))-F(\varphi(\alpha))\)。 ◻
这个写法不要求\(\varphi\)单调，因为\(\varphi'\)的符号已经记录了方向；若要通过\(x=\varphi(t)\)反解\(t\)并改写任意积分，则通常需选定单调分支或分段处理。换元时函数、微分和上下限必须同时变换，计算中不能混用新旧变量。
例 6.16 (线性内层与三角换元). 先计算 \[\int_0^1\frac{2x}{1+x^2}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x.\] 令\(u=1+x^2\)，有\(\mathop{}\!\mathrm{d}u=2x\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)，上下限变为\(1,2\)，故积分为\(\int_1^2\mathop{}\!\mathrm{d}u/u=\ln2\)。
再计算\(I=\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)。令\(x=\sin t\)，取\(t\in[0,\pi/2]\)，则\(\cos t\ge0\)，因此\(\sqrt{1-\sin^2t}=\cos t\)， \[I=\int_0^{\pi/2}\cos^2t\,\mathop{}\!\mathrm{d}t =\frac12\int_0^{\pi/2}(1+\cos2t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}t=\frac\pi4.\] 选择区间保证平方根化简中的符号正确，所得结果也与单位圆四分之一面积一致。
定理 6.17 (分部积分公式). 若\(u,v\in C^1[a,b]\)，则 \[\int_a^b u(x)v'(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x =[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x.\]
证明. Proof. 由乘积求导公式\((uv)'=u'v+uv'\)，积分后使用Newton–Leibniz公式并移项即得。 ◻
例 6.18 (把求导后简化的因子放在适当位置). 求\(\int_1^e x\ln x\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)。取\(u=\ln x\)、\(v'=x\)，有\(u'=1/x\)、\(v=x^2/2\)，于是 \[\begin{align*} \int_1^e x\ln x\,\mathop{}\!\mathrm{d}x &=\left[\frac{x^2\ln x}{2}\right]_1^e -\frac12\int_1^e x\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\\ &=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4} =\frac{e^2+1}{4}. \end{align*}\] 选\(\ln x\)作为求导因子，是因为求导后可与另一个因子约简；若把两因子角色机械交换，所得积分未必更简单。
例 6.19 (有理函数的分解与定义域). 求 \[\int\frac{2x+3}{x^2+3x+2}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x.\] 分母为\((x+1)(x+2)\)，直接分解得 \[\frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}=\frac1{x+1}+\frac1{x+2}.\] 因此在不跨越\(-2,-1\)的任意区间上，原函数为 \[\ln|x+1|+\ln|x+2|+C.\] 也可观察到分子正是分母的导数，写成\(\ln|x^2+3x+2|+C\)。两个表达式在同一区间等价；若定积分区间跨越分母零点，不能直接用原函数端点相减冒充本章的普通定积分，需进入第7章的反常积分讨论。
6.5 从离散求和到连续模型
6.5.1 宽度、权重与累积量的单位
Riemann和中的\(\Delta x_k\)不是附属记号。若\(f(x)\)表示单位长度上的量，乘以长度\(\Delta x_k\)才得到该段的累积量；如果把采样值直接相加，结果会随采样数量变化。对于非均匀网格，各段宽度必须分别保留。
设给定数据\((x_k,y_k)\)，\(x_0<\cdots<x_n\)。若明确采用相邻点间的线性插值\(p\)，则其积分可以精确写成 \[\int_{x_0}^{x_n}p(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x =\sum_{k=1}^n\frac{y_{k-1}+y_k}{2}(x_k-x_{k-1}).\] 这里”精确”是对指定的分段线性函数而言；仅有节点数据时，尚不能说这个值就是未知真实函数的精确积分。不同函数可以经过同一批节点，却在节点之间有不同形状与不同积分。
例 6.20 (相同节点值不能唯一确定连续积分). 在\([0,1]\)上取等距节点\(x_k=k/n\)。函数\(f(x)=0\)与\(g(x)=\sin^2(n\pi x)\)在所有节点都取值\(0\)，但 \[\int_0^1 f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=0,\qquad \int_0^1 g(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=\frac12.\] 因此有限数据本身不能排除节点间的快速变化。要估计真实积分误差，需要额外的连续性模量、导数界、频率限制或其他可说明的模型假设。提高图形显示分辨率不会增加已有数据中的信息。
6.5.2 一个求积误差界的推导
命题 6.21 (复合中点公式的误差界). 设\(f\in C^2[a,b]\)，且\(|f''(x)|\le M_2\)。取\(n\)等分，\(h=(b-a)/n\)，中点\(c_k=a+(k-\tfrac12)h\)，则 \[M_n=h\sum_{k=1}^n f(c_k),\qquad \left|\int_a^b f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x-M_n\right| \le\frac{M_2(b-a)^3}{24n^2}.\]
证明. Proof. 在第\(k\)个小区间，以\(c_k\)为基点用一阶Taylor公式， \[f(x)=f(c_k)+f'(c_k)(x-c_k)+r_k(x),\qquad |r_k(x)|\le\frac{M_2}{2}(x-c_k)^2.\] 关于中点的线性项在对称小区间上积分为零，因此局部误差绝对值不超过 \[\frac{M_2}{2}\int_{-h/2}^{h/2}t^2\,\mathop{}\!\mathrm{d}t =\frac{M_2h^3}{24}.\] 将\(n\)个局部误差的绝对值相加，得到\(nM_2h^3/24\)，再代入\(h=(b-a)/n\)即得全局上界。 ◻
公式中的\(n^{-2}\)来自两个环节：单段误差为\(h^3\)阶，而段数约为\(1/h\)。误差的阶数描述网格加密规律，常数\(M_2\)控制该规律的量级。若数据来自带误差的采样值，还需把输入误差对加权和的影响另行计入。
6.5.3 有限拟合目标与连续拟合目标
例 6.22 (均匀输入区间上的常数近似). 希望用常数\(\theta\)近似\([0,1]\)上的函数\(x\mapsto x\)。给定右端点样本\(x_k=k/n\)，有限数据目标为 \[J_n(\theta)=\frac1n\sum_{k=1}^n(x_k-\theta)^2.\] 若希望区间内各等长部分具有相同权重，则相应连续目标为 \[J(\theta)=\int_0^1(x-\theta)^2\,\mathop{}\!\mathrm{d}x =\theta^2-\theta+\frac13 =\left(\theta-\frac12\right)^2+\frac1{12}.\] 因此连续目标的唯一最小点是\(\theta=1/2\)。有限目标展开为 \[J_n(\theta)=\theta^2-\frac{n+1}{n}\theta +\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2},\] 其唯一最小点为\(\theta_n=(n+1)/(2n)\)，与\(1/2\)之差为\(1/(2n)\)。该偏差来自右端点采样的不对称位置，不是求导错误。
| 样本数\(n\) | 右端点目标最小点\(\theta_n\) | 与\(1/2\)的差 | 中点采样最小点 |
|---|---|---|---|
| 2 | \(3/4\) | \(1/4\) | \(1/2\) |
| 4 | \(5/8\) | \(1/8\) | \(1/2\) |
| 8 | \(9/16\) | \(1/16\) | \(1/2\) |
| 16 | \(17/32\) | \(1/32\) | \(1/2\) |
有限样本均方误差是有限求和，连续区间上的平方误差是积分。本例中，对每个固定\(\theta\)，\(J_n(\theta)\)作为Riemann和趋于\(J(\theta)\)，且最小点的极限可以由显式公式直接验证。一般问题不能仅凭目标函数逐点收敛，就断言其最小点也收敛；还需控制参数范围和收敛方式。若输入点并非均匀分布，未加宽度权重的样本平均也不应直接等同于均匀区间积分。
6.6 分层习题
基础题
用等分右端点和计算\(\int_0^2x\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)，指出可积性由哪条定理保证。
设\(f(x)=1\)（\(0\le x<1\)）、\(f(x)=3\)（\(1\le x\le2\)）。计算积分及平均值，并判断平均值是否被\(f\)取到。
计算\(\int_{-2}^2(x^3+x^2)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)，分别说明奇函数部分和偶函数部分的作用。
求\(F(x)=\int_{\sin x}^{x^2}\sqrt{1+t^2}\,\mathop{}\!\mathrm{d}t\)的导数。
计算\(\int_0^1 x e^{x^2}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)及\(\int_0^1 x e^x\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)，说明分别适合哪种方法。
计算\(\int_0^1(3x+5)/(x^2+3x+2)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)。
推理题
设\(f\ge0\)在\([a,b]\)连续，且\(\int_a^b f=0\)。证明\(f\)恒为零。若只要求可积，这个结论是否仍成立？
设\(f,g\)在\([a,b]\)连续且\(\max|f-g|\le\varepsilon\)，证明\(|\int_a^b f-\int_a^b g|\le(b-a)\varepsilon\)。说明该估计与曲线节点值接近有何区别。
设\(f\)连续且关于原点为奇函数，证明\(F(x)=\int_0^x f(t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}t\)是偶函数；若\(f\)为偶函数，判断\(F\)的奇偶性并证明。
证明改变有界可积函数在有限多个点的值，不改变其Riemann可积性和定积分。
拓展题
用复合中点公式近似\(\int_0^1\ln(1+x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\)。若要求理论误差上界不超过\(10^{-4}\)，求一个足够的最小整数\(n\)，并写出精确积分值供核验。
将本章常数近似例的右端点样本改为\(x_k=(k-1/2)/n\)。求有限目标的唯一最小点，并计算该目标与连续目标\(J(\theta)\)的差。解释为什么本题可以出现最小点完全相同而目标值不同。
6.7 知识回顾与选题解答
积分从带宽度权重的有限和出发，要求任意细分割、任意标记点都趋于同一值。Darboux上下和提供可积判别，连续性与单调性给出两类基本保证。变上限积分把累积量变为函数，微积分基本定理把求积与原函数联系起来。换元和分部积分分别来自链式法则与乘积法则。将离散数据用于积分时，应区分插值函数的精确积分、真实函数的近似积分以及仅由有限数据定义的目标。
第1、2题
第1题取\(x_k=2k/n\)，右端点和为 \[\sum_{k=1}^n\frac{2k}{n}\frac2n =\frac{2(n+1)}n\longrightarrow2.\] 由于\(x\)在\([0,2]\)连续，所以这一极限等于积分。第2题的积分为\(1\times1+3\times1=4\)，平均值为\(2\)，但\(f\)没有取值\(2\)。积分中值定理的连续性假设在此不成立。
第4、5题
第4题由变上限积分与链式法则得到 \[F'(x)=2x\sqrt{1+x^4}-\cos x\sqrt{1+\sin^2x}.\] 第5题第一式令\(u=x^2\)，得到\((e-1)/2\)；第二式用分部积分得到 \[\int_0^1xe^x\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=[xe^x]_0^1-\int_0^1e^x\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=1.\] 前者的内层导数与外部因子相匹配，后者是多项式与指数函数的乘积。
第6题
设\((3x+5)/[(x+1)(x+2)]=A/(x+1)+B/(x+2)\)，比较系数得\(A+B=3\)、\(2A+B=5\)，所以\(A=2,B=1\)。积分为 \[2\ln2+\ln3-\ln2=\ln6.\] 区间\([0,1]\)不含分母零点，普通定积分公式适用。
第7题
若某点\(x_0\)有\(f(x_0)>0\)，由连续性，在\(x_0\)的一个相对邻域中有\(f(x)\ge f(x_0)/2\)。该邻域与\([a,b]\)相交包含一段正长度区间，因而积分严格为正，矛盾。所以\(f\)处处为零。仅可积时结论不成立：在某一个点取值\(1\)、其余点取值\(0\)的函数非负可积且积分为零，却不恒为零。
第8、9题
第8题由积分线性与绝对值不等式， \[\left|\int_a^b(f-g)\right|\le\int_a^b|f-g| \le(b-a)\varepsilon.\] 条件控制整个区间的函数差，而不仅是有限节点。第9题令\(t=-u\)，得到 \[F(-x)=-\int_0^x f(-u)\,\mathop{}\!\mathrm{d}u.\] 若\(f\)为奇函数，右侧等于\(F(x)\)；若\(f\)为偶函数，右侧等于\(-F(x)\)。因此原函数的奇偶性按题述方式互换。
第10题
设两函数之差\(d\)仅在有限点\(c_1,\ldots,c_m\)可能非零，且\(|d|\le B\)。给这些点各选一个小邻域，使邻域总长度小于任意给定正数\(\eta\)，再选分割把所有邻域边界加入。邻域之外\(d=0\)，故\(U(d,P)-L(d,P)\le2B\eta\)，且上下和都夹在\(-B\eta\)与\(B\eta\)之间。由Darboux判别，\(d\)可积且积分为零。原函数与修改后函数之差为\(d\)，线性性质即给出积分不变。
第11题
\(f''(x)=-1/(1+x)^2\)，所以可取\(M_2=1\)，要求\(1/(24n^2)\le10^{-4}\)，即\(n\ge\sqrt{10000/24}\)，足够的最小整数为\(21\)。精确积分可令\(u=1+x\)或分部积分得到 \[\int_0^1\ln(1+x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=2\ln2-1.\]
第12题
中点样本平均值为\(1/2\)，故展开有限目标并求导，得到唯一最小点\(\theta=1/2\)。再由平方和公式， \[\frac1n\sum_{k=1}^n\left(\frac{k-1/2}{n}\right)^2 =\frac13-\frac1{12n^2}.\] 所以中点目标为 \[\widetilde J_n(\theta)=\theta^2-\theta+\frac13-\frac1{12n^2} =J(\theta)-\frac1{12n^2}.\] 两个目标仅相差一个与\(\theta\)无关的常数，因此最小点完全一致，而最小值不同。这是本例二次结构带来的精确关系，不能直接推广为一般采样结论。