8 函数列、幂级数与近似模型

掌握逐点收敛与一致收敛的量词差别；能用一致误差界、Cauchy准则和Weierstrass判别法研究函数列及函数项级数；理解交换极限与连续、积分、求导的条件；会求幂级数收敛半径并单独检查端点。先修内容为一元函数极限、连续性、定积分及第7章的数项级数。

对于一列近似函数\(p_1,p_2,\ldots\)，固定一个输入\(x\)后，\(p_n(x)\)是一列实数。然而应用常常要求同一近似函数在整个输入区间都可靠。若每个输入需要的截断阶数不同，便不能从”每点最终准确”直接推出”存在一个适用于所有输入的阶数”。本章以量词和误差上界刻画这种差别，并说明何时可以把近似函数的连续性、积分或导数传递给极限函数。

8.1 逐点收敛与一致收敛

定义 8.1 (两种函数列收敛). 设\(f_n,f\)定义在非空集合\(D\subset\mathbb{R}\)上。若对每个固定\(x\in D\)都有\(f_n(x)\to f(x)\)，称\(f_n\)在\(D\)上逐点收敛于\(f\)。若对任意\(\varepsilon>0\)，存在整数\(N\)，使所有\(n\ge N\)及所有\(x\in D\)均满足\(|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\)，则称其一致收敛于\(f\)，记为\(f_n\rightrightarrows f\)。

逐点收敛的量词次序是”对每个\(x\)，对每个\(\varepsilon\)，存在\(N\)“；一致收敛把”对每个\(x\)“放在\(N\)之后。前者的\(N\)可以依赖\(x\)，后者的\(N\)只依赖精度和给定的集合\(D\)。一致性总是相对于指定定义域而言，缩小定义域可能改变判断。

命题 8.2 (一致误差判据). 令\(e_n=\sup_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|\)，允许\(e_n=+\infty\)。则\(f_n\rightrightarrows f\)当且仅当\(e_n\to0\)。

证明. Proof. 若\(e_n\to0\)，取\(e_n<\varepsilon\)即可保证所有\(x\)同时满足误差条件。反之，若一致收敛，对任意\(\varepsilon>0\)可取\(N\)，使\(n\ge N\)时所有点的误差小于\(\varepsilon/2\)，于是\(e_n\le\varepsilon/2<\varepsilon\)。 ◻

这里用上确界而不总用最大值，是因为\(D\)可以不是闭区间，误差也未必在某一点取到最大。证明一致收敛时，不一定要算出上确界的精确值；只要找到与\(x\)无关的界\(|f_n(x)-f(x)|\le c_n\)且\(c_n\to0\)就足够。

例 8.3 (\(x^n\)与端点附近的误差). 设\(f_n(x)=x^n\)，\(x\in[0,1]\)。若\(0\le x<1\)，则\(x^n\to0\)；在\(x=1\)处恒为\(1\)，故极限函数为 \[f(x)=\begin{cases}0,&0\le x<1,\\1,&x=1.\end{cases}\] 在\([0,1]\)上，\(\sup|f_n-f|=1\)，不一致收敛。把定义域改为\([0,1)\)后极限变成连续函数\(0\)，但\(\sup_{x<1}x^n=1\)，仍不一致。若改为\([0,a]\)，其中\(0<a<1\)，则上确界为\(a^n\to0\)，因此一致收敛。对精度\(0<\varepsilon<1\)，取\(N>\log\varepsilon/\log a\)即可。

例 8.4 (最大误差点随阶数移动). 设\(f_n(x)=x/(1+nx^2)\)，\(x\in\mathbb{R}\)。每点的极限都是零。令\(t=\sqrt n|x|\)，由\(2t\le1+t^2\)得到 \[|f_n(x)|=\frac1{\sqrt n}\frac{t}{1+t^2} \le\frac1{2\sqrt n}.\] 在\(x=\pm1/\sqrt n\)处取等号，故一致误差恰为\(1/(2\sqrt n)\)，在整个实轴上一致收敛。寻找最大误差时允许\(x\)随\(n\)变化；逐点极限则必须先固定\(x\)，二者是不同的判断过程。

定理 8.5 (一致收敛的Cauchy准则). 实值函数列\(f_n\)在\(D\)上一致收敛的充分必要条件是：对任意\(\varepsilon>0\)，存在\(N\)，使所有\(m,n\ge N\)及所有\(x\in D\)有\(|f_m(x)-f_n(x)|<\varepsilon\)。

证明. Proof. 必要性由\(|f_m-f_n|\le|f_m-f|+|f_n-f|\)得到。反之，固定\(x\)后该条件使\(\{f_n(x)\}\)成为Cauchy数列，实数完备性给出极限\(f(x)\)。对给定\(\varepsilon\)，先用\(\varepsilon/2\)选取一个对所有\(x\)有效的\(N\)，固定\(n\ge N\)并令\(m\to\infty\)，得\(|f(x)-f_n(x)|\le\varepsilon/2<\varepsilon\)。故收敛是一致的。 ◻

8.2 一致收敛与连续、积分、求导

定理 8.6 (连续性在一致极限下保持). 设每个\(f_n:D\to\mathbb{R}\)在\(a\in D\)处连续，且\(f_n\rightrightarrows f\)于\(D\)。则\(f\)在\(a\)处连续；这里的连续性按\(D\)上的相对定义理解。

定理 8.7 (一致极限与定积分交换). 若\(f_n\in C[a,b]\)且\(f_n\rightrightarrows f\)于\([a,b]\)，则\(f\in C[a,b]\)，并且 \[\begin{equation} \label{eq:08-integral-exchange} \lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x =\int_a^b f(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x. \end{equation}\] 更精确地，积分误差不超过\((b-a)\sup_{[a,b]}|f_n-f|\)。

证明. Proof. 前一定理给出\(f\)连续，因此可积。由积分的估值不等式， \[\left|\int_a^b(f_n-f)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\right| \le(b-a)\sup_{x\in[a,b]}|f_n(x)-f(x)|\longrightarrow0.\] ◻

例 8.8 (逐点收敛不能保证积分交换). 在\([0,1]\)上令\(f_n(x)=n^2x(1-x)^n\)。端点处值为零；固定\(0<x<1\)时，指数衰减快于\(n^2\)增长，故\(f_n(x)\to0\)。然而令\(u=1-x\)，有 \[\int_0^1f_n(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x =n^2\int_0^1(1-u)u^n\,\mathop{}\!\mathrm{d}u =\frac{n^2}{(n+1)(n+2)}\longrightarrow1.\] 极限函数的积分是零，而积分的极限是一。函数值在越来越窄的区域内越来越高，这些面积不能由逐点极限保留。由前述定理的逆否命题，也可判定该函数列不一致收敛。

\(f_n(x)=\sin(nx)/n\)在\(\mathbb{R}\)上一致趋于零，因为\(|f_n|\le1/n\)。但\(f_n'(0)=1\)，极限函数的导数却为零。求导会放大快速振荡，因此不能把一致收敛定理直接改写成逐项求导结论。

定理 8.9 (逐项求导的充分条件). 设\(f_n\in C^1[a,b]\)，存在\(x_0\in[a,b]\)使数列\(f_n(x_0)\)收敛，且\(f_n'\rightrightarrows g\)于\([a,b]\)。则\(f_n\)一致收敛到某个\(f\in C^1[a,b]\)，并且\(f'=g\)；端点导数取相应单侧意义。

证明. Proof. 设\(f_n(x_0)\to c\)。由于\(g\)是连续函数列的一致极限，\(g\)连续。定义 \[f(x)=c+\int_{x_0}^xg(t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}t.\] 由微积分基本定理\(f'=g\)。同时 \[|f_n(x)-f(x)|\le|f_n(x_0)-c|+(b-a)\sup_{t\in[a,b]}|f_n'(t)-g(t)|.\] 右侧与\(x\)无关且趋于零，故\(f_n\rightrightarrows f\)。 ◻

要求某一点的函数值收敛，是为了控制导数无法确定的加法常数。例如\(f_n(x)=n\)的导数都为零，导数列一致收敛，但函数列并不收敛。定理中的两个条件分别控制函数的变化部分与常数部分。

8.3 函数项级数与一致误差

对函数项级数\(\sum_{n=0}^{\infty}u_n(x)\)，收敛性是其部分和函数列\(S_N(x)=\sum_{n=0}^Nu_n(x)\)的收敛性。若和函数为\(S\)，则一致收敛等价于余项\(R_N(x)=S(x)-S_N(x)\)在整个定义域上一致趋于零。

定理 8.10 (Weierstrass判别法). 若对所有\(x\in D\)有\(|u_n(x)|\le M_n\)，其中\(M_n\ge0\)且数项级数\(\sum M_n\)收敛，则\(\sum u_n(x)\)在\(D\)上一致收敛，而且每点都绝对收敛。其余项满足 \[\sup_{x\in D}|R_N(x)|\le\sum_{n=N+1}^{\infty}M_n.\]

证明. Proof. 每个固定\(x\)处由比较判别法得到绝对收敛。对\(m>n\)， \[\left|\sum_{k=n+1}^mu_k(x)\right|\le\sum_{k=n+1}^mM_k,\] 右侧由数项级数的Cauchy准则可对所有\(x\)同时控制，故部分和列一致收敛。令\(m\to\infty\)得到余项界。 ◻

例 8.11 (一个无需知道闭式和的一致近似). 考虑\(S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\cos(nx)/n^2\)，\(x\in\mathbb{R}\)。由于\(|\cos(nx)/n^2|\le1/n^2\)，该级数在整个实轴上一致收敛，且\(S\)连续。对于任意输入\(x\)， \[|S(x)-S_N(x)|\le\sum_{n=N+1}^{\infty}n^{-2}\le\frac1N.\] 即使没有求得和函数的闭式，也能用\(S_N\)构造带有统一精度保证的近似。形式求导会得到\(-\sum\sin(nx)/n\)，原来的\(1/n^2\)控制不再适用；是否能够逐项求导必须另作判断。

命题 8.12 (函数项级数的逐项积分). 设\(u_n\in C[a,b]\)，\(\sum u_n\)在\([a,b]\)上一致收敛到\(S\)，则 \[\int_a^bS(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x=\sum_{n=0}^{\infty}\int_a^bu_n(x)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x.\]

证明. Proof. 有限和可以逐项积分。对部分和函数列应用式[eq:08-integral-exchange]，令项数趋于无穷即可。 ◻

Weierstrass判别法是充分条件，不是必要条件。若给出的控制级数发散，只能说该组控制量不足以完成证明。例如函数项均为常数\(u_n(x)=(-1)^{n-1}/n\)时，函数项级数在任意\(D\)上一致收敛，因为误差与\(x\)无关；但\(\sum\sup_D|u_n|\)发散。绝对控制与交错抵消仍是两种不同机制。

8.4 幂级数的收敛半径与区间内部性质

定义 8.13 (幂级数与收敛半径). 形如\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\)的函数项级数称为以\(x_0\)为中心的幂级数。若存在\(R\in[0,+\infty]\)，使其在\(|x-x_0|<R\)时绝对收敛、在\(|x-x_0|>R\)时发散，则称\(R\)为收敛半径。中心点总是收敛点，端点须另行判断。

定理 8.14 (Cauchy–Hadamard公式). 令\(\rho=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\)，则幂级数的收敛半径为\(R=1/\rho\)，约定\(1/0=+\infty\)、\(1/(+\infty)=0\)。若\(a_n\)最终非零，且\(|a_n/a_{n+1}|\to L\in[0,+\infty]\)，则也有\(R=L\)。

证明. Proof. 固定\(x\ne x_0\)，通项绝对值的\(n\)次根的上极限为\(|x-x_0|\rho\)。小于\(1\)时由根值判别法收敛，大于\(1\)时发散，因而得到半径公式。比值公式对固定\(x\)直接应用数项级数的比值判别法；\(L=0\)或\(+\infty\)时按其极限意义处理。 ◻

例 8.15 (半径相同，端点行为不同). 对\(\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n\)，有\(|a_n/a_{n+1}|=(n+1)/n\to1\)，故\(R=1\)。\(x=1\)处是调和级数，发散；\(x=-1\)处为交错调和级数，收敛，所以收敛域为\([-1,1)\)。对\(\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n^2\)，半径仍为\(1\)，两个端点都绝对收敛。对\(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\)，两个端点均发散。半径只能决定区间内部和外部，不能决定边界。

定理 8.16 (幂级数在内部紧区间上一致收敛). 若幂级数的收敛半径为\(R>0\)，则对每个\(0<r<R\)，它在\([x_0-r,x_0+r]\)上一致绝对收敛，因此其和函数在\((x_0-R,x_0+R)\)上连续。

定理 8.17 (幂级数的逐项求导与积分). 设\(S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\)的收敛半径为\(R>0\)。当\(|x-x_0|<R\)时， \[S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_n(x-x_0)^{n-1},\qquad \int_{x_0}^xS(t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}.\] 导数级数和积分级数的收敛半径均为\(R\)。

证明. Proof. 固定\(0<r<s<R\)，仍取\(|a_n|s^n\le C\)。在\(|x-x_0|\le r\)上，导数项绝对值不超过\((C/s)n(r/s)^{n-1}\)，其数项级数由比值法收敛。于是部分和的导数列一致收敛，而部分和在\(x_0\)处恒为\(a_0\)，由逐项求导定理得到第一式。第二式来自内部闭区间上的逐项积分定理。导数系数的\(n\)次根与原系数相比只出现趋于\(1\)的因子\(n^{1/n}\)；积分系数则出现\((n+1)^{-1/n}\to1\)。结合半径公式可知半径不变，有限移项不影响结论。 ◻

例 8.18 (从几何级数得到新和函数). 在\(|x|<1\)内，\(\sum_{n=0}^{\infty}x^n=1/(1-x)\)。逐项求导再乘\(x\)，得到 \[\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}.\] 再求导并乘\(x\)，得到 \[\sum_{n=1}^{\infty}n^2x^n=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}.\] 例如\(x=1/2\)时\(\sum n^2/2^n=6\)。上述运算在开区间内部合法，不能把\(x=1\)代入后将分母为零的表达式解释成有限级数和。

8.5 函数展开、统一近似与模型误差

幂级数一旦表示某个函数，就在收敛区间内部给出一系列多项式近似。然而函数有任意阶导数，并不自动保证它等于自己的Taylor级数。第5章的Taylor公式保留了余项，本节的关键仍是证明余项在目标区间趋于零。

例 8.19 (对数展开及统一尾界). 在\(|t|<1\)内，\(1/(1+t)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nt^n\)。沿从\(0\)到\(x\)的线段逐项积分可得 \[\begin{equation} \label{eq:08-log-series} \log(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}n x^n, \qquad |x|<1. \end{equation}\] 若\(|x|\le r<1\)，截断至\(N\)项的误差满足 \[|R_N(x)|\le\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{r^n}{n} \le\frac{r^{N+1}}{(N+1)(1-r)}.\] 在\(r=1/2\)、\(N=8\)时，上界为\(1/2304<4.35\times10^{-4}\)。这是对整个\([-1/2,1/2]\)有效的界，而不仅是\(x=1/2\)这一点的误差。

式[eq:08-log-series]在\(x=1\)处不能仅靠内部逐项积分定理直接代入。可另用有限恒等式 \[\frac1{1+t}=\sum_{n=0}^{N-1}(-t)^n+\frac{(-t)^N}{1+t}\] 在\([0,1]\)积分；余项绝对值不超过\(\int_0^1t^N\,\mathop{}\!\mathrm{d}t=1/(N+1)\)，从而严谨地得到\(\log2=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}/n\)。

例 8.20 (指数函数的区间近似). 对\(p_N(x)=\sum_{k=0}^Nx^k/k!\)，Taylor公式给出：在\(|x|\le A\)上， \[|\mathrm e^x-p_N(x)|\le\mathrm e^A\frac{A^{N+1}}{(N+1)!}.\] 固定\(A\)后，右侧相邻两项的比值为\(A/(N+2)\to0\)，故\(p_N\)在每个有界区间上一致趋于\(\mathrm e^x\)。当\(A=1\)、\(N=8\)时，上界为\(\mathrm e/9!<7.50\times10^{-6}\)。如果把输入区间扩大到\([-10,10]\)，同一阶数的误差保证会明显改变；截断阶数应与输入范围共同指定。

注记. 说明 8.21 (光滑并不等于可由Taylor级数表示). 令\(h(0)=0\)，\(x\ne0\)时\(h(x)=\mathrm e^{-1/x^2}\)。对\(x\ne0\)逐次求导，每阶导数都是\(\mathrm e^{-1/x^2}\)乘以\(1/x\)的某个多项式。利用\(t^m\mathrm e^{-t^2}\to0\)可归纳验证所有阶导数连续延拓到零点，且\(h^{(k)}(0)=0\)。因此它在零点的Taylor级数恒为零，而任意\(x\ne0\)处\(h(x)>0\)。Taylor展开等于原函数需要余项趋零的依据，不能只列出形式系数。

8.5.1 多项式特征与有限样本目标

把输入\(x\)映射成\((1,x,\ldots,x^N)\)，再取系数的线性组合，就得到多项式模型\(p_N(x)=\sum_{k=0}^Na_kx^k\)。第13章将讨论怎样由有限数据确定系数；这里先研究已知近似误差会如何传递到一个有限平方误差目标。

命题 8.22 (统一函数误差对有限平方目标的影响). 给定\(m\)个实数对\((x_i,y_i)\)，其中\(x_i\in D\)。设\(\sup_D|p-f|\le\varepsilon\)，并且所有\(i\)满足\(|f(x_i)-y_i|\le B\)。定义 \[J(p)=\frac1m\sum_{i=1}^m(p(x_i)-y_i)^2.\] 则\(|J(p)-J(f)|\le2B\varepsilon+\varepsilon^2\)。

证明. Proof. 记\(r_i=f(x_i)-y_i\)、\(d_i=p(x_i)-f(x_i)\)，则 \[(r_i+d_i)^2-r_i^2=2r_id_i+d_i^2.\] 每项绝对值不超过\(2B\varepsilon+\varepsilon^2\)。取有限平均后不等式保持成立。 ◻

该命题把函数近似误差转化为一个有限样本目标的数值误差，不涉及未观测数据上的统计结论。反过来，样本点上误差为零并不能推出区间上一致误差为零：若样本输入为\(x_1,\ldots,x_m\)，函数\(g(x)=C\prod_{i=1}^m(x-x_i)\)在全部样本点取零，却可通过改变\(C\)在其他点变得很大。

系数误差也与输入范围有关。若\(|\widetilde a_k-a_k|\le\delta_k\)，则 \[\sup_{|x|\le r}|\widetilde p_N(x)-p_N(x)| \le\sum_{k=0}^N\delta_kr^k.\] 当\(r>1\)时高次项的系数误差可能被放大。将输入范围缩放到一个受控区间，有助于控制这一上界，但不会自动保证系数拟合问题条件良好，也不会自动消除数据误差。

写明定义域、极限对象、截断阶数和误差范数；若交换积分或求导，逐条核验相应定理的条件；若只在有限点比较，结论应限定于这些点。数值图像可以提示误差集中位置，不能代替对整个定义域有效的估计。

8.6 知识回顾与分层习题

逐点收敛逐个固定输入，一致收敛控制整个输入集合。一致极限保持连续性，在有限闭区间可与积分交换；逐项求导还需导数列的一致收敛及一点函数值的控制。幂级数在半径内部的闭区间具有这些性质，但端点必须另行检查。模型近似的精度同时依赖阶数、输入范围和所用误差量。

基础题

判断\(f_n(x)=x/n\)在\([0,1]\)与\(\mathbb{R}\)上的逐点及一致收敛性。
判断\(f_n(x)=1/(1+nx)\)在\([0,1]\)与\([a,1]\)上的收敛性，其中\(0<a<1\)。
证明\(\sum_{n=1}^{\infty}\sin(nx)/n^3\)在\(\mathbb{R}\)上一致收敛，并给出截断余项界。
求\(\sum_{n=1}^{\infty}n(x-2)^n/4^n\)的收敛半径与收敛域。
求\(\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n\)在\(|x|<1\)内的和。
用\(\log(1+x)\)的前六项多项式逼近\([-1/3,1/3]\)上的函数，给出统一误差上界。

推理题

若\(f_n\rightrightarrows f\)于\(D\)且每个\(f_n\)有界，证明\(f\)有界；是否必有一个常数同时界住所有\(f_n\)？
若\(f_n\rightrightarrows f\)、\(g_n\rightrightarrows g\)于\(D\)且\(f,g\)有界，证明\(f_ng_n\rightrightarrows fg\)。
证明\(\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n^2\)在\([-1,1]\)上一致收敛；说明为什么不能据此断言其导数级数在同一区间上一致收敛。
设\(f_n\in C[a,b]\)、\(f_n\rightrightarrows f\)，且\(x_n\in[a,b]\)、\(x_n\to x\)。证明\(f_n(x_n)\to f(x)\)。

拓展题

给定\(|x|\le1\)上的多项式\(p_N\)，系数扰动满足\(|\widetilde a_k-a_k|\le\delta\)。证明统一输出误差不超过\((N+1)\delta\)，并构造达到此上界的系数扰动与输入。
设\(f_n\in C^1[0,1]\)、\(f_n(0)=0\)且\(\sup_{[0,1]}|f_n'|\le M\)。若\(f_n\)逐点趋于连续函数\(f\)，证明其实际上一致收敛。提示：先用共同的斜率界，再选取有限网格。

8.7 本章选题解答

8.7.0.0.1 第1题

每个固定实数\(x\)都有\(x/n\to0\)。在\([0,1]\)上上确界为\(1/n\to0\)，一致收敛。在\(\mathbb{R}\)上每个\(n\)的上确界均为\(+\infty\)；也可取\(x_n=n\)，使\(|f_n(x_n)|=1\)，故不一致收敛。

8.7.0.0.2 第2题

零点处极限为\(1\)，其余点极限为\(0\)。连续函数列的逐点极限在\([0,1]\)上不连续，因而不一致收敛。在\([a,1]\)上极限为零，且最大值\(1/(1+na)\to0\)，故一致收敛。

8.7.0.0.3 第3题

用\(M_n=1/n^3\)作控制，由Weierstrass判别法得一致收敛。积分余项界给出\(\sup_{\mathbb{R}}|R_N|\le\sum_{n>N}n^{-3}\le1/(2N^2)\)。证明无需求和函数的闭式。

8.7.0.0.4 第4题

系数为\(a_n=n/4^n\)，\(a_n/a_{n+1}=4n/(n+1)\to4\)，所以\(R=4\)。两个端点为\(x=-2\)和\(x=6\)，通项分别为\(n(-1)^n\)与\(n\)，均不趋于零，故收敛域为\((-2,6)\)。

8.7.0.0.5 第6题

由本章对数展开的尾界，\(r=1/3\)、\(N=6\)时有 \[\sup|R_6|\le\frac{(1/3)^7}{7(1-1/3)}=\frac1{10206}<9.80\times10^{-5}.\] 该界同时覆盖正输入与负输入，不能只套用在正输入上成立的交错余项估计。

8.7.0.0.6 第7题

选定\(N\)使\(\sup_D|f_N-f|\le1\)，则\(|f(x)|\le\sup_D|f_N|+1\)，所以\(f\)有界。再由一致收敛，存在\(N_1\)使所有\(n\ge N_1\)有\(\sup_D|f_n|\le\sup_D|f|+1\)。前\(N_1-1\)个函数各有界，取这些有限个上界与尾部上界的最大值，即可同时控制全部\(f_n\)。

8.7.0.0.7 第8题

对足够大的\(n\)，一致收敛给出\(\sup_D|f_n|\le\sup_D|f|+1=:C\)。利用 \[|f_ng_n-fg|\le |f_n|\,|g_n-g|+|g|\,|f_n-f|,\] 取上确界后两项均趋于零。\(f,g\)有界保证乘法的误差不会被一个无界因子放大。

8.7.0.0.8 第9题

在\([-1,1]\)上有\(|x^n/n^2|\le1/n^2\)，故一致收敛。形式导数级数为\(\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}/n\)，在\(x=1\)处即为发散的调和级数，连逐点收敛都不成立，更不可能在整个闭区间一致收敛。它只在半径内部的较小闭区间具有本章保证的性质。

8.7.0.0.9 第10题

一致极限\(f\)连续。分解 \[|f_n(x_n)-f(x)|\le\sup_{[a,b]}|f_n-f|+|f(x_n)-f(x)|.\] 第一项由一致收敛趋零，第二项由连续性与\(x_n\to x\)趋零。

8.7.0.0.10 第12题

由中值定理，\(|f_n(x)-f_n(y)|\le M|x-y|\)。固定\(x,y\)令\(n\to\infty\)，得\(f\)也满足相同不等式。给定\(\varepsilon>0\)，取有限网格\(0=t_0<\cdots<t_s=1\)，使每个\(x\)到某个网格点的距离小于\(\varepsilon/[3(M+1)]\)。在有限个网格点上逐点收敛，故能选共同的\(N\)，使\(n\ge N\)时所有网格误差小于\(\varepsilon/3\)。对任意\(x\)选取邻近网格点\(t_j\)，则 \[|f_n(x)-f(x)|\le M|x-t_j|+|f_n(t_j)-f(t_j)|+M|t_j-x|<\varepsilon.\] 于是收敛一致。有限网格能发挥作用，是因为共同的斜率界控制了网格点之间的变化；缺少这种控制时，仅比较有限个输入不足以证明一致收敛。