1 实数、函数与数学建模语言

理解量词次序、确界与函数定义域，能够把文字条件写成可检验的数学陈述；掌握绝对值估计和函数复合；区分样本、模型、参数与误差。先修内容为中学代数、集合运算和基本初等函数。本章不预设程序设计或概率论知识。

数学分析研究连续变化、无限逼近和误差控制。有限数据与计算程序也需要这些语言：一个数据表只给出有限个数，一个模型却可能定义在整个区间；计算得到的若干近似值不能代替关于全部输入的结论。学习的第一步，是明确对象、范围和条件，然后判断一个断言究竟说了什么。

1.1 集合、量词与证明的基本结构

本书以 \(\mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{Z}\) 分别表示实数集、有理数集和整数集，以 \(\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}\) 表示自然数集；正整数写作 \(n\geqslant1\)。集合不保留排列次序和重复次数。对有限观测数据，应使用有序表 \((x_i,y_i)_{i=1}^{m}\)，因为重复观测通常仍是不同的数据记录。

设 \(A,B\) 为集合，\(A\subseteq B\) 表示 \(A\) 的每个元素均属于 \(B\)。证明 \(A=B\) 通常分为 \(A\subseteq B\) 与 \(B\subseteq A\) 两步。区间 \((a,b)\) 不含端点，\([a,b]\) 含端点；无穷大不是实数，故 \([a,+\infty)\) 的右端不能用方括号。

定义 1.1 (量词与含量词命题). “对每个 \(x\in D\)，性质 \(P(x)\) 成立”记作 \(\forall x\in D,\ P(x)\)；“存在 \(x\in D\) 使 \(P(x)\) 成立”记作 \(\exists x\in D,\ P(x)\)。量词后的变量只能在其规定的范围内取值。

“每个数都能找到一个更大的数”与”存在一个数比所有数都大”分别为 \[\forall x\in\mathbb{R}\ \exists y\in\mathbb{R}:\ y>x, \qquad \exists y\in\mathbb{R}\ \forall x\in\mathbb{R}:\ y>x.\] 前者成立，后者不成立。存在量随前面给定的量而变化，是极限定义中最重要的逻辑结构之一。将 \(N\) 写成 \(N(\varepsilon)\)，就是强调 \(N\) 可以依赖误差要求 \(\varepsilon\)；它不能再依赖尚未任意选定的指标 \(n\)。

命题 1.2 (否定量词的规则). 命题 \(\forall x\in D,\ P(x)\) 的否定为 \(\exists x\in D,\ \neg P(x)\)；命题 \(\exists x\in D,\ P(x)\) 的否定为 \(\forall x\in D,\ \neg P(x)\)。多重量词逐层取否定，同时把内部性质取否定。

证明. Proof. 全称命题不成立，正是指所规定的范围内至少有一个对象不满足性质；存在命题不成立，正是指这个范围内没有对象满足性质。逐层使用这两条等价关系即可处理多重量词。 ◻

例 1.3 (写出有界性的否定). 数列 \((a_n)\) 有界是指 \[\exists M>0\ \forall n\geqslant1:\ |a_n|\leqslant M.\] 其否定为 \(\forall M>0\ \exists n\geqslant1:\ |a_n|>M\)。这里指标 \(n\) 可以依赖 \(M\)。无界并不意味着从某项起所有项都大，例如 \(a_{2k}=k\)、\(a_{2k-1}=0\) 无界，但奇数项始终为零。写出逻辑否定，比把”有界”简单改成”越来越大”更准确。

例 1.4 (有限检查与全称命题). 检验整数 \(1,\ldots,K\) 后发现 \(p(n)>0\)，尚不能推出 \(\forall n\geqslant1,\ p(n)>0\)。取 \[p(n)=\left(K+\frac12\right)-n,\] 它在所有已检验的指标上均为正，在 \(n=K+1\) 时为负。有限测试可以发现反例，也可以支持猜想；要证实全称命题，仍需使用覆盖全部取值范围的推理。

证明 \(P\Rightarrow Q\) 时，直接证明从 \(P\) 出发；反证法同时假设 \(P\) 和 \(\neg Q\)，推出矛盾；逆否命题法证明 \(\neg Q\Rightarrow\neg P\)。证明”当且仅当”须处理两个方向。给出反例时，须同时核实它满足原条件、违反原结论。

1.2 实数的序、确界与完备性

实数上的序与加法、乘法相容：不等式两端加同一个数保序，乘正数保序，乘负数反向。除以含未知量的表达式前，必须先判断其符号及是否为零。绝对值 \(|x|\) 表示 \(x\) 到零的距离，\(|x-a|<r\) 描述开区间 \((a-r,a+r)\)。

定义 1.5 (上界、上确界与最大值). 设 \(S\subseteq\mathbb{R}\) 非空。若对所有 \(x\in S\) 有 \(x\leqslant M\)，称 \(M\) 为 \(S\) 的上界。若 \(\alpha\) 是 \(S\) 的上界，且不大于任何其他上界，称 \(\alpha\) 为上确界，记作 \(\sup S\)。若另有 \(\alpha\in S\)，则它也是最大值 \(\max S\)。下界、下确界 \(\inf S\) 和最小值按相反不等式定义。

上界一般有许多个，上确界至多一个。若 \(\alpha,\beta\) 都是最小上界，则 \(\alpha\leqslant\beta\) 且 \(\beta\leqslant\alpha\)，故两者相等。最大值要求被集合取到，上确界只要求是最小上界。

定理 1.6 (实数的确界原理). 每个非空且有上界的实数集都有实数上确界；每个非空且有下界的实数集都有实数下确界。

本书把确界原理作为实数完备性的基本性质。由有上界情形可推出有下界情形：令 \(-S=\{-x:x\in S\}\)，则 \(\inf S=-\sup(-S)\)。后续的单调收敛、闭区间套和连续函数最值，都将回到这一性质。它保证无限逼近不会在实数系中留下空缺。

命题 1.7 (上确界的误差刻画). 设 \(S\neq\varnothing\)。实数 \(\alpha=\sup S\) 当且仅当：所有 \(x\in S\) 满足 \(x\leqslant\alpha\)，并且对每个 \(\varepsilon>0\)，存在 \(x_\varepsilon\in S\) 使 \[\begin{equation} \label{eq:01-sup} \alpha-\varepsilon<x_\varepsilon\leqslant\alpha. \end{equation}\]

证明. Proof. 若 \(\alpha=\sup S\)，则 \(\alpha\) 是上界。由于 \(\alpha-\varepsilon<\alpha\)，它不可能是上界，故存在 \(x_\varepsilon\in S\) 大于它。反之，设上述两条件成立。若 \(M<\alpha\) 也是上界，取 \(\varepsilon=\alpha-M\)，则存在 \(x_\varepsilon>M\)，与 \(M\) 为上界矛盾。因此 \(\alpha\) 是最小上界。 ◻

例 1.8 (可达到与不可达到的最优值). 对 \(S=\{1-1/n:n\geqslant1\}\)，所有元素小于 \(1\)，故 \(1\) 是上界。给定 \(\varepsilon>0\)，选正整数 \(n>1/\varepsilon\)，则 \(1-1/n>1-\varepsilon\)，所以 \(\sup S=1\)，但没有最大值。对 \(T=S\cup\{1\}\)，上确界仍为 \(1\)，最大值也为 \(1\)。在优化问题中，“目标值可无限接近某个数”与”存在参数达到该数”正对应这一差别。

定理 1.9 (Archimedes 性质). 正整数集在 \(\mathbb{R}\) 中没有上界。因此，对任意 \(a>0\) 和 \(b\in\mathbb{R}\)，存在正整数 \(n\) 使 \(na>b\)。

证明. Proof. 若正整数集有上界，由确界原理存在 \(\alpha=\sup\{1,2,\ldots\}\)。由命题1.7，存在正整数 \(n>\alpha-1\)；于是正整数 \(n+1>\alpha\)，矛盾。对给定 \(a,b\)，取 \(n>b/a\) 即得结论。 ◻

命题 1.10 (有理数的稠密性). 若 \(a<b\)，则存在 \(r\in\mathbb{Q}\) 使 \(a<r<b\)。

证明. Proof. 由 Archimedes 性质，选正整数 \(n\) 满足 \(n(b-a)>1\)。取整数 \(k=\lfloor na\rfloor+1\)，则 \(na<k\leqslant na+1<nb\)，故 \(a<k/n<b\)。这里 \(\lfloor t\rfloor\) 表示不超过 \(t\) 的最大整数，其存在性也由整数的无界性和离散次序得到。 ◻

任意非空开区间也含无理数：先在 \((a-\sqrt2,b-\sqrt2)\) 中选有理数 \(r\)，则 \(r+\sqrt2\) 是所需无理数。稠密不等于完备；例如集合 \(\{q\in\mathbb{Q}:q>0,\ q^2<2\}\) 在 \(\mathbb{Q}\) 中没有有理上确界。

在 \(\mathbb{R}\) 内讨论有限实数上确界时，非空与有上界缺一不可。符号 \(\sup S\) 不自动代表集合中有一个”最优元素”。后续写 \(\mathop{\mathrm{arg\,min}}\) 前，还须核实最小值是否取到，以及取到它的参数是否唯一。

从完备性证明正平方根存在

熟悉的符号 \(\sqrt a\) 也包含一个存在性结论。几何直觉能够提示答案，确界原理则说明这一数确实属于实数系。

命题 1.11 (正平方根的存在与唯一性). 对每个 \(a>0\)，存在唯一的 \(\alpha>0\) 使 \(\alpha^2=a\)。

证明. Proof. 令 \(S=\{x\geqslant0:x^2<a\}\)。因为 \(0\in S\)，它非空；若 \(x\geqslant a+1\)，则 \(x^2>a\)，故 \(a+1\) 是上界。设 \(\alpha=\sup S\)。取 \(t=\min\{1,a\}/2\)，有 \(t>0\) 且 \(t^2<a\)，所以 \(\alpha\geqslant t>0\)。

若 \(\alpha^2<a\)，选 \(0<h<1\) 且 \(h(2\alpha+1)<a-\alpha^2\)，则 \[(\alpha+h)^2\leqslant\alpha^2+h(2\alpha+1)<a.\] 于是 \(\alpha+h\in S\)，与 \(\alpha\) 为上界矛盾。若 \(\alpha^2>a\)，取 \(0<h<\alpha\) 且 \(2\alpha h<\alpha^2-a\)，则 \((\alpha-h)^2>\alpha^2-2\alpha h>a\)。任意 \(x\in S\) 必有 \(x<\alpha-h\)，因此 \(\alpha-h\) 是比 \(\alpha\) 更小的上界，又矛盾。所以 \(\alpha^2=a\)。

若另有 \(\beta>0\) 满足 \(\beta^2=a\)，则 \((\alpha-\beta)(\alpha+\beta)=0\)；因为 \(\alpha+\beta>0\)，只能有 \(\alpha=\beta\)。 ◻

这一证明中，“取足够小的 \(h\)”落实为同时满足有限条严格不等式。例如第一种情形可以取 \(h=\min\{1/2,(a-\alpha^2)/(2(2\alpha+1))\}\)。写清这一选择可以检查差量确实为正，也可避免用待证明的连续性结论证明平方根的存在。

1.3 绝对值、误差与估计方法

极限证明通常不直接计算误差的精确值，而是构造便于控制的上界。有效的估计要保持不等号方向，并注明变量范围。

命题 1.12 (三角不等式与反三角不等式). 对任意实数 \(u,v\)，成立 \[|u+v|\leqslant|u|+|v|, \qquad \bigl||u|-|v|\bigr|\leqslant|u-v|.\]

证明. Proof. 由 \(-|u|\leqslant u\leqslant|u|\) 及 \(-|v|\leqslant v\leqslant|v|\)，相加即得第一式。将 \(u=(u-v)+v\) 代入第一式，得 \(|u|-|v|\leqslant|u-v|\)；交换 \(u,v\) 后得到相反方向的差值估计，两式合并即得第二式。 ◻

反复使用三角不等式可得 \(|\sum_{i=1}^{m}u_i|\leqslant\sum_{i=1}^{m}|u_i|\)。这个结论适用于有限和；无穷求和需要第7章中的收敛条件。

例 1.14 (分母远离零的重要性). 设 \(|x|\geqslant m>0\) 且 \(|\widetilde x-x|\leqslant m/2\)，则由反三角不等式有 \(|\widetilde x|\geqslant m/2\)，从而 \[\left|\frac1{\widetilde x}-\frac1x\right| =\frac{|\widetilde x-x|}{|x\widetilde x|} \leqslant\frac{2}{m^2}|\widetilde x-x|.\] 当 \(m\) 很小时，上界中的系数会很大。除法的误差不能只看分子的变化，还要控制分母与零的距离。数据归一化中的比例运算也需要检查这一点。

当真值为零或接近零时，相对误差不适合作为唯一判据。常用的混合判据是 \[|\widetilde x-x|\leqslant\tau_{\mathrm{abs}} +\tau_{\mathrm{rel}}|x|,\] 其中两个容差分别控制绝对和相对尺度。若真值未知，只能把可计算的残差或迭代差作为诊断量；这些量是否约束真实误差，要由相应定理证明。

有限加权和的误差控制

设 \(z=\sum_{i=1}^{m}w_ix_i\)，其中权重 \(w_i\) 固定。如果每个输入近似值满足 \(|\widetilde x_i-x_i|\leqslant\delta_i\)，则 \[|\widetilde z-z| =\left|\sum_{i=1}^{m}w_i(\widetilde x_i-x_i)\right| \leqslant\sum_{i=1}^{m}|w_i|\delta_i.\] 当统一误差界为 \(\delta\) 时，右侧为 \((\sum_i|w_i|)\delta\)。如果权重非负且和为 \(1\)，加权平均的输出误差不超过输入统一误差。若允许正负权重，仅知道权重代数和为 \(1\) 不够。例如 \(z=100x_1-99x_2\) 虽然权重和等于 \(1\)，但两个误差分别取 \(\delta\) 和 \(-\delta\) 时，输出误差达到 \(199\delta\)。

这一计算区分了权重的代数和与绝对值和。前者决定常数输入是否保持不变，后者给出最坏情况下的误差放大系数。若输入误差有额外结构，实际误差可能低于此界；在没有额外假设时，则不能依赖相互抵消。以后处理线性预测、函数展开的有限截断或数值累加，都可先从这条不等式建立可靠的基本界。

1.4 函数、复合与反函数

定义 1.16 (实函数). 设 \(D\subseteq\mathbb{R}\) 非空。实函数 \(f:D\to\mathbb{R}\) 给每个 \(x\in D\) 唯一指定一个实数 \(f(x)\)。\(D\) 是定义域，集合 \(f(D)=\{f(x):x\in D\}\) 是值域。函数由定义域和对应规则共同确定。

表达式相同而定义域不同，可以得到不同函数。例如 \(f(x)=x^2\) 定义在 \(\mathbb{R}\) 上不单射，定义在 \([0,+\infty)\) 上则单射。等式 \(\sqrt{x^2}=x\) 仅对 \(x\geqslant0\) 成立，正确的全域表达式是 \(\sqrt{x^2}=|x|\)。

例 1.17 (复合函数的定义域). 设 \(f(t)=\log t\)、\(g(x)=1-x^2\)。复合函数 \((f\circ g)(x)=\log(1-x^2)\) 要求 \(x\) 在 \(g\) 的定义域中，且 \(g(x)>0\)，故其定义域是 \((-1,1)\)。反向复合 \((g\circ f)(x)=1-(\log x)^2\) 的定义域是 \((0,+\infty)\)。两种次序一般不相等，定义域也不同。

定义 1.18 (单调性与单射). 若对定义域中的任意 \(x_1<x_2\) 有 \(f(x_1)\leqslant f(x_2)\)，称 \(f\) 单调递增；若总有严格不等式，则称严格递增。递减类似。若 \(f(x_1)=f(x_2)\) 必推出 \(x_1=x_2\)，称 \(f\) 为单射。

命题 1.19 (严格单调函数的反函数). 若 \(f:D\to f(D)\) 严格递增，则存在反函数 \(f^{-1}:f(D)\to D\)，且它严格递增；严格递减时，反函数也严格递减。

证明. Proof. 严格单调性保证单射：若 \(x_1\neq x_2\)，其大小次序必引起函数值的严格次序。由值域定义，每个 \(y\in f(D)\) 至少有一个原像，单射性保证原像唯一，故反函数存在。以递增情形为例，若 \(y_1<y_2\) 而原像满足 \(x_1\geqslant x_2\)，单调性将推出 \(y_1\geqslant y_2\)，矛盾，因此 \(x_1<x_2\)。 ◻

此处只证明反函数存在及单调，尚未证明连续。反函数的连续性还与原函数定义域的区间性质有关，不能把后续结论预先纳入定义。

函数还可由分段公式定义。分段端点必须覆盖定义域且保持唯一赋值；若两段同时包含某一点，它们在该点给出的值应一致。当每个输入只对应一个输出时，有限数据表可看作定义在有限输入集合上的函数；一般观测表还可能含同一输入的不同输出，拟合须另行规定函数类别与误差准则。插值或拟合进一步把有限信息联系到更大范围上的函数。

1.5 有限数据、参数模型与可检验的数学陈述

设有 \(m\) 个实数输入和观测值 \((x_i,y_i)\)。一个参数模型可写为 \(f_\theta(x)\)，其中 \(x\) 是输入，\(\theta\) 是待选参数。固定 \(\theta\) 时，它是输入的函数；固定数据时，误差准则又成为参数的函数。这种视角转换贯穿人工智能中的模型训练，但其数学基础仍是函数及其运算。

例 1.20 (从三条数据到一参数拟合). 观测数据为 \((1,2),(2,3),(3,5)\)，选模型 \(f_\theta(x)=\theta x\)，定义有限平均平方误差 \[J(\theta)=\frac13\sum_{i=1}^{3}(\theta x_i-y_i)^2 =\frac{14}{3}\theta^2-\frac{46}{3}\theta+\frac{38}{3}.\] 配方得到 \[J(\theta)=\frac{14}{3}\left(\theta-\frac{23}{14}\right)^2+\frac1{14}.\] 因此在 \(\theta\in\mathbb{R}\) 上，唯一最小点为 \(\theta_*=23/14\)，最小值为 \(1/14\)。结论完全来自有限代数，不需要导数。若把可行参数限制为 \(\theta<23/14\)，下确界仍为 \(1/14\)，但不再取到；若限制为 \(\theta\in[0,1]\)，离 \(23/14\) 最近的可行点为 \(1\)，故最小点变为 \(1\)。

数学对象	在上述模型中的含义
输入与观测	\(x_i\) 为输入，\(y_i\) 为对应观测；数据记录带有指标 \(i\)
模型函数	\(f_\theta(x)=\theta x\)，规定输入到输出的映射
参数空间	允许选择的 \(\theta\) 的集合；改变它会改变优化问题
目标函数	\(J(\theta)\)，由固定数据计算的有限平均误差
最优值与最优点	\(\inf J\) 是数；\(\mathop{\mathrm{arg\,min}}J\) 是达到最小值的参数集合

在应用中还应记录量的单位。若输入以长度单位计量、输出以时间单位计量，则比例模型中的 \(\theta\) 具有时间除以长度的单位，平方误差具有时间平方的单位。将输出数值整体放大十倍，会把同一预测关系的平方误差放大一百倍。因此，跨数据表比较目标值之前，必须确认单位、样本平均方式和输出尺度一致；一个较小的数值并不天然代表更高的预测精度。

对 \(f_\theta(x)=\theta x\)，讨论输入扰动时比较 \(f_\theta(x+h)\) 与 \(f_\theta(x)\)；讨论参数更新时比较 \(f_{\theta+s}(x)\) 与 \(f_\theta(x)\)。前者的变化为 \(\theta h\)，后者为 \(sx\)。变量角色不同，问题与误差系数就不同。

有限平均平方误差只衡量给定数据上的拟合程度，不能单独推出未观测输入上的误差。相同的有限数据可以被多个函数完全拟合：若多项式 \(p\) 在互异点 \(x_1,\ldots,x_m\) 上取指定值，则 \[p(x)+c\prod_{i=1}^{m}(x-x_i),\qquad c\in\mathbb{R},\] 在这些点上具有同样的取值，而在其他点通常不同。因此，研究模型须同时记录数据范围、函数类别和参数约束；不能仅凭某个误差数字判定函数在全域的性质。

样本均值为什么产生于平方误差

设 \(y_1,\ldots,y_m\) 是任意有限实数，\(\bar y=m^{-1}\sum_i y_i\)。对常数模型 \(c\)，将 \(c-y_i=(c-\bar y)+(\bar y-y_i)\) 展开，有 \[\begin{equation} \label{eq:01-mean-square} \frac1m\sum_{i=1}^{m}(c-y_i)^2 =(c-\bar y)^2+\frac1m\sum_{i=1}^{m}(y_i-\bar y)^2. \end{equation}\] 交叉项为零，因为 \(\sum_i(\bar y-y_i)=0\)。右侧第二项不依赖 \(c\)，第一项非负且仅在 \(c=\bar y\) 时为零，所以有限平均数是常数平方误差模型的唯一最优解。这里的”平均”是有限数的代数运算；无需把数据预先解释为随机变量。

式[eq:01-mean-square]还说明为何必须先固定研究对象。最小化关于 \(c\) 的函数时，观测值是常数；若修改其中一个观测值，则整个目标函数及其最小点都发生变化。最优点的存在性、唯一性和数据扰动后的变化，是三个不同问题。第13章将把这种代数结构推广到多个参数。

数值计算还引入表示误差。有限长度的小数或二进制数只是实数的近似表示。数学恒等式 \((a+b)+c=a+(b+c)\) 在实数运算中成立，逐步舍入的程序计算却可能给出不同结果。程序输出应与数学对象区分：本书定理针对明确给出的实数函数，计算表用于展示数值行为和检查实现。

1.6 知识回顾与分层习题

集合规定对象范围，量词规定陈述力度；确界区分界、最优值和达到最优值的元素；绝对值把误差转化为不等式；函数的定义域与复合规则控制表达式是否合法；参数模型把有限数据转化为可研究的函数问题。

基础题

写出命题”对任意 \(\varepsilon>0\)，存在正整数 \(n\) 使 \(1/n<\varepsilon\)“的否定，并判断原命题与其否定的真假。
求集合 \(S=\{n/(n+1):n\geqslant1\}\) 的上下确界、最大值和最小值，并说明各值是否存在。
设 \(A=(-2,1]\)、\(B=[0,3)\)，求 \(A\cap B\)、\(A\cup B\) 和 \(A\setminus B\)。
求 \(\sqrt{2-x}+\log(x+1)\) 与 \(\log(\sqrt{x}-1)\) 的定义域。
设 \(|\widetilde x-x|\leqslant0.002\)、\(|x|\leqslant4\)，给出 \(|\widetilde x^2-x^2|\) 的保证上界。
求 \(f(x)=3x-2\) 在 \([0,2]\) 上的值域和反函数，注明反函数定义域。

推理题

设 \(A,B\) 为非空有上界实数集，且 \(A\subseteq B\)。证明 \(\sup A\leqslant\sup B\)，并举例说明真包含不保证严格不等式。
设 \(S\) 非空有界，\(c>0\)、\(d\in\mathbb{R}\)。证明 \(\sup\{cx+d:x\in S\}=c\sup S+d\)。
对任意 \(x,y\geqslant0\)，证明 \(|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leqslant\sqrt{|x-y|}\)。说明为什么不能在整个 \([0,+\infty)\) 上用一个常数 \(C\) 保证 \(|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leqslant C|x-y|\)。
证明：若 \(f:D\to\mathbb{R}\) 有界，且 \(|g(x)-f(x)|\leqslant\eta\) 对所有 \(x\in D\) 成立，则 \(g\) 有界，且 \(|\sup_Dg-\sup_Df|\leqslant\eta\)。这里 \(D\) 非空、\(\eta\geqslant0\)。

拓展题

对数据 \((0,1),(1,2),(2,2)\)，选常数模型 \(f_c(x)=c\)。不用微分，求 \(\frac13\sum_{i=1}^{3}(c-y_i)^2\) 的最小点与最小值。
给定互异实数 \(x_1,\ldots,x_m\)，构造一个非零多项式，使它在所有这些点取零。说明为什么仅在这些点验证两个多项式相等不足以证明它们恒等；再说明预先知道次数均不超过 \(m-1\) 时有何不同。

1.7 本章选题解答

否定为”存在 \(\varepsilon_0>0\)，使对每个正整数 \(n\) 都有 \(1/n\geqslant\varepsilon_0\)“。由 Archimedes 性质，给定 \(\varepsilon>0\) 可选 \(n>1/\varepsilon\)，故原命题真，否定假。
\(n/(n+1)=1-1/(n+1)\) 随 \(n\) 严格增加，首项为 \(1/2\)，所以 \(\inf S=\min S=1/2\)。全部元素小于 \(1\)；给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(n+1>1/\varepsilon\) 可使元素大于 \(1-\varepsilon\)，故 \(\sup S=1\)，没有最大值。
第一式要求 \(x\leqslant2\) 且 \(x>-1\)，故定义域为 \((-1,2]\)。第二式要求 \(\sqrt{x}>1\)，故为 \((1,+\infty)\)。
因 \(|\widetilde x|\leqslant4.002\)，有 \(|\widetilde x^2-x^2|\leqslant0.002(4.002+4)=0.016004\)。这也是乘积误差公式取两个相同因子所得的上界。
\(\sup B\) 是 \(B\) 的上界，因 \(A\subseteq B\)，它也是 \(A\) 的上界；由最小上界定义有 \(\sup A\leqslant\sup B\)。例如 \(A=(0,1)\)、\(B=[0,1]\) 真包含，但两者上确界都是 \(1\)。
记 \(\alpha=\sup S\)。对 \(x\in S\)，有 \(cx+d\leqslant c\alpha+d\)。给定 \(\varepsilon>0\)，选 \(x\in S\) 满足 \(x>\alpha-\varepsilon/c\)，便有 \(cx+d>c\alpha+d-\varepsilon\)。由上确界的误差刻画得到结论。
不妨设 \(x\geqslant y\)，则 \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\geqslant\sqrt{x-y}\)。若 \(x>y\)，有 \[\sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \leqslant\sqrt{x-y};\] \(x=y\) 时显然。若第二个不等式存在统一常数 \(C\)，取 \(y=0\)、\(x>0\)，会得到 \(1/\sqrt{x}\leqslant C\)；由 \(x\) 可任意接近零而矛盾。
由 \(|g(x)|\leqslant|f(x)|+\eta\) 得有界性。又 \(g(x)\leqslant f(x)+\eta\leqslant\sup_Df+\eta\)，故 \(\sup_Dg\leqslant\sup_Df+\eta\)；交换 \(f,g\) 后合并两式即得结论。
展开并配方：\(J(c)=c^2-\frac{10}{3}c+3=(c-\frac53)^2+\frac29\)。因此最小点为 \(c=5/3\)，最小值为 \(2/9\)。