附录 B：证明方法与错误诊断

B.1 从量词结构寻找证明路线

极限定义不是要求逐项检验无限多个数，而是要求对任意误差标准构造统一的后续控制。证明\(a_n\to a\)时，应先给定\(\varepsilon>0\)，再根据误差上界选择\(N\)，最后验证所有\(n\ge N\)。证明不收敛到\(a\)则应找到某个固定\(\varepsilon_0>0\)，使任意\(N\)后仍出现违反要求的项。

例 17.1 (正确否定与错误否定). 若声称\(a_n\not\to a\)，仅找到一个\(n\)使\(|a_n-a|>1\)不够，因为极限不受有限多项影响。对\(a_n=(-1)^n\)和任意候选极限\(a\)，偶数子列与奇数子列分别恒为1和\(-1\)；若原数列收敛，两子列必须同极限，矛盾。这里利用了收敛数列子列的性质，也可以直接从\(\varepsilon\)定义构造反证。

例 17.2 (一个\(N\)控制整个区间). 在\([0,1]\)上考虑\(f_n(x)=x^n\)。若只取\(x=1/2\)，有\(f_n(1/2)\to0\)，但这不能说明一致收敛到零；事实上\(f_n(1)=1\)。即使改在\([0,1)\)上逐点趋于零，也有\(\sup_{0\le x<1}x^n=1\)，故不一致收敛。取\(x_n=2^{-1/n}\)可得\(f_n(x_n)=1/2\)，展示了”点随\(n\)移动”如何揭示不一致性。

B.2 估计、夹逼与分项控制

大量极限证明的关键是把复杂表达式变为已知趋零量。三角不等式常把一个误差拆为几个来源；每一项分配\(\varepsilon/2\)或\(\varepsilon/3\)只是方便做法，不是定义的一部分。

命题 17.3 (近似输入与近似模型的合成误差). 设\(K\subset\mathbb{R}^d\)，\(f:K\to\mathbb{R}\)满足\(L\)-Lipschitz条件，\(g:K\to\mathbb{R}\)满足\(\sup_{x\in K}|g(x)-f(x)|\le\eta\)。若\(x,\widehat x\in K\)，则 \[|g(\widehat x)-f(x)|\le\eta+L\left\lVert \widehat x-x\right\rVert.\]

这一估计把模型误差与输入误差区分开来。若模型误差只在若干样本点上成立，就不能自动得到整个\(K\)上的一致界。若缺少Lipschitz条件，也不能沿用同一个线性扰动界。

例 17.4 (有界因子应先证明). 设\(a_n\to a\)、\(b_n\to b\)。写成 \[a_nb_n-ab=a_n(b_n-b)+b(a_n-a).\] 需要先由收敛推出\(|a_n|\le M\)，再得 \(|a_nb_n-ab|\le M|b_n-b|+|b||a_n-a|\)。直接声称”两个趋零量相乘趋零”并不对应上式的第一项，因为\(a_n\)本身未必趋零。识别有界因子是乘积极限定理证明中的必要步骤。

B.3 紧致性：由局部信息取得整体结论

紧致性常将”每一点存在一个邻域”的局部结论转为有限覆盖，再形成统一控制。在实数闭区间上的连续函数达到最大最小值、连续函数一致连续，均体现这一作用。

例 17.5 (最小值存在与最小值计算). 对\(f(x)=\exp(x)\)，若定义域为\([-2,1]\)，连续性和紧致性保证最小值存在，单调性进一步确定最小点为\(-2\)。若定义域为\(\mathbb{R}\)，下确界为0却无最小点。求导得到\(f'(x)>0\)只说明单调；在无界集合上，仅有连续性、下有界性仍不足以保证最小值取得。

命题 17.6 (有限维空间上的强制性与最小值). 设\(f:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}\)连续，且\(\left\lVert x\right\rVert\to\infty\)时\(f(x)\to+\infty\)。则\(f\)有全局最小点。

证明. Proof. 取任意\(x_0\)。由强制性，可选择\(R>\left\lVert x_0\right\rVert\)，使\(\left\lVert x\right\rVert>R\)时\(f(x)>f(x_0)\)。闭球\(\overline B(0,R)\)在有限维空间中紧，故\(f\)在该球上达到最小值，设最小点为\(x_*\). 球内\(f(x_*)\le f(x)\)；球外\(f(x)>f(x_0)\ge f(x_*)\)。因此\(x_*\)为全局最小点。 ◻

B.4 反例：精确定位失效的条件

反例应同时满足保留下来的假设并否定所声称的结论。仅给出”不符合全部假设”的对象没有诊断意义。

错误推断	反例	失效位置
连续函数必可导	\(f(x)=\lvert x\rvert\)在0处	左右差商不同
偏导存在必可微	原点补零的\(xy/\sqrt{x^2+y^2}\)	沿坐标轴偏导为零，沿对角线余项并非\(o(r)\)
驻点必是极小点	\(f(x)=x^3\)在0处	一阶必要条件不是充分条件
Hessian半正定必严格极小	\(f(x,y)=x^2\)在原点	沿\(y\)轴函数值不变
函数值收敛必参数收敛	\(f(x)=x^2,\ x_n=(-1)^n\)	所有函数值为1，参数持续振荡
正项趋零必级数收敛	\(\sum1/n\)	通项趋零仅为必要条件
逐点收敛可交换积分	\(f_n(x)=n\mathbf1_{(0,1/n)}(x)\)	逐点趋零，积分恒为1
拟合误差为零必参数唯一	只观测\(x=0\)的直线拟合	斜率不影响该点预测

表中的函数列在端点也按所给指标函数定义，每个函数均Riemann可积，故反例不依赖测度论。学习反例时宜画出定义域、特殊方向或支撑区间，辨认其构造机制，再尝试恢复一个足够条件。

B.5 由局部近似得到全局结论时的边界

Taylor公式具有局部性质，若在整条线段上有统一的二阶导数上界，则可以控制一次有限步长的函数变化。设\(f\in C^2\)且沿\(x+th\)、\(0\le t\le1\)有\(\left\lVert H_f\right\rVert\le L\)，则 \[|f(x+h)-f(x)-\nabla f(x)^{\mathsf T}h|\le\frac L2\left\lVert h\right\rVert^2.\] 这里的\(L\)必须覆盖整条线段。如果仅知道\(H_f(x)\)在起点较小，就不能保证大步长后的变化也较小。

例 17.7 (起点曲率为零仍可能上升). \(f(x)=x^4+x\)在\(x=0\)处有\(f'(0)=1\)、\(f''(0)=0\)。沿负梯度方向取步长\(\alpha=2\)，得到\(x_1=-2\)和\(f(x_1)=14>f(0)=0\)。起点处的零曲率未控制从0到\(-2\)的整条线段。若先限制\(|x|\le r\)，则可用\(L=12r^2\)分析该区域内的步长，但还应核查新点确实留在区域内。

B.6 怎样检查一份生成的证明

对任何来源的证明，均可按以下顺序核对。先检查对象是否一致，例如定义域是否在中途由开区间改成闭区间。再检查量词是否被交换，例如是否把”对每个\(x\)选一个\(N\)“改写成”一个\(N\)适用于所有\(x\)“。随后检查每次除法、取对数、开方和交换极限所需的条件。最后寻找能够压测结论的退化情形：零向量、端点、不可导点、参数共线或样本重复。

例 17.8 (修复一段错误论证). 错误论证：“\(f'(x_0)=0\)，所以\(f\)在\(x_0\)附近的变化为零，故\(x_0\)为极小点。”可微性只给出 \(f(x_0+h)-f(x_0)=o(h)\)，并未规定差值符号。取\(f(x)=x^3\)即可否定原结论。若增加\(f\in C^2\)且\(f''(x_0)>0\)，Taylor展开成为 \[f(x_0+h)-f(x_0)=\tfrac12 f''(x_0)h^2+o(h^2)>0\] 对充分小的非零\(h\)成立，才可推出严格局部极小。修复应写出新增假设，而不是只把”所以”改成”通常”。