3  函数极限、连续性与稳定性

掌握函数极限的 \(\varepsilon\)–\(\delta\) 定义及数列判别法，正确使用等价无穷小；能够区分函数极限、点的函数值与连续性；理解闭区间上的有界、最值、介值和一致连续结论；能够用明确的不等式描述输入扰动的影响。先修内容为前两章的函数、误差估计、数列极限和实数完备性。

数列极限讨论整数指标趋向无穷时的变化，函数极限则允许自变量沿定义域内的各种方式接近一个位置。两者通过数列判别法联系起来。连续性表达局部扰动不会产生固定幅度的跳变，而稳定性分析还要回答：允许多大的输入误差，才能保证指定的输出误差？

3.1 函数极限及其数列判别法

设 \(D\subseteq\mathbb{R}\)，若对每个 \(r>0\)，集合 \(D\) 内都存在点 \(x\) 满足 \(0<|x-a|<r\)，则称 \(a\) 为 \(D\) 的聚点。函数在 \(a\) 处的极限要求 \(a\) 是定义域聚点；\(a\) 本身可以不属于定义域。

定义 3.1 (有限点处的函数极限). 设 \(a\) 是 \(D\) 的聚点，\(f:D\to\mathbb{R}\)。若存在 \(L\in\mathbb{R}\)，使对每个 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，当 \(x\in D\) 且 \(0<|x-a|<\delta\) 时均有 \(|f(x)-L|<\varepsilon\)，则记作 \[\lim_{\substack{x\to a\\x\in D}}f(x)=L.\] 定义域明确时简记为 \(\lim_{x\to a}f(x)=L\)。

去心条件 \(0<|x-a|\) 表示极限不考察 \(f(a)\) 本身。\(\delta\) 可以依赖 \(\varepsilon\) 和固定点 \(a\)，不能随已被任意量化的 \(x\) 改变。若只从右侧或左侧接近，分别将条件换为 \(0<x-a<\delta\) 或 \(0<a-x<\delta\)，得到右极限和左极限。当定义域包含去心邻域时，两侧极限存在且相等，当且仅当通常的两侧极限存在。

例 3.2 (局部限制与误差估计). 证明 \(\lim_{x\to2}x^2=4\)。因为 \(|x^2-4|=|x-2||x+2|\)，先附加 \(|x-2|<1\)，便有 \(1<x<3\)，从而 \(|x+2|<5\)。给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\min\{1,\varepsilon/5\}\)，则当 \(0<|x-2|<\delta\) 时，\(|x^2-4|<5\delta\leqslant\varepsilon\)。把一个因子限制在固定邻域内，是乘积型极限证明的常用方法。

定理 3.3 (Heine 数列判别法). 设 \(a\) 是 \(D\) 的聚点。\(\lim_{x\to a,\ x\in D}f(x)=L\) 当且仅当：对每个满足 \(x_n\in D\setminus\{a\}\) 且 \(x_n\to a\) 的数列，都有 \(f(x_n)\to L\)。

证明. Proof. 若函数极限为 \(L\)，给定 \(\varepsilon>0\)，由定义选择 \(\delta\)。因 \(x_n\to a\)，充分大的 \(n\) 满足 \(0<|x_n-a|<\delta\)，故 \(|f(x_n)-L|<\varepsilon\)。

反之，若函数极限不为 \(L\)，否定定义可得某个 \(\varepsilon_0>0\)，使每个 \(\delta>0\) 都存在 \(x\in D\) 满足 \(0<|x-a|<\delta\) 而 \(|f(x)-L|\geqslant\varepsilon_0\)。依次取 \(\delta=1/n\)，选取这样的 \(x_n\)，则 \(x_n\to a\)，但 \(f(x_n)\) 不趋于 \(L\)，与假设矛盾。 ◻

此定理可以把数列极限的唯一性、四则运算和夹逼结论转移到函数极限。它也给出证明极限不存在的工具：构造两条趋向同一点的数列，使函数值趋向不同的数。只选一条数列并得到一个极限，不足以证明函数极限存在。

例 3.4 (高频振荡是否妨碍极限). 对 \(f(x)=\sin(1/x)\)，取 \[x_n=\frac1{\pi/2+2n\pi},\qquad y_n=\frac1{3\pi/2+2n\pi}.\] 两列均趋于零，而 \(f(x_n)=1\)、\(f(y_n)=-1\)，故 \(f\) 在零点没有极限。对 \(g(x)=x\sin(1/x)\)，则有 \(|g(x)|\leqslant|x|\)，故 \(g(x)\to0\)。自变量越接近零，振荡越频繁，但第二个函数的振幅同时趋于零，极限仍然存在。

无穷远处的极限与无穷大

\(\lim_{x\to+\infty}f(x)=L\) 表示对每个 \(\varepsilon>0\)，存在 \(M\)，使定义域中所有 \(x>M\) 都有 \(|f(x)-L|<\varepsilon\)，并要求定义域向右无界。\(f(x)\to+\infty\) 当 \(x\to a\)，则把输出条件改为：对每个 \(K>0\)，足够接近 \(a\) 的全部定义域点满足 \(f(x)>K\)。这些定义的输入条件和输出条件不能混用。

例如 \(1/x^2\to+\infty\) 当 \(x\to0\)，因为 \(0<|x|<1/\sqrt K\) 时有 \(1/x^2>K\)；\(1/x\) 在零点的左右无穷极限符号不同，不能写成两侧趋于正无穷。无穷大是变化性质，不是可以参与普通四则运算的实数。

3.2 极限计算、无穷小与等价替换

命题 3.5 (极限运算的适用条件). 若 \(f(x)\to A\)、\(g(x)\to B\) 为有限极限，则有限线性组合与乘积的极限等于相应数值运算；若 \(B\neq0\)，商的极限为 \(A/B\)。若 \(h\) 在 \(B\) 处连续且复合有定义，则 \(h(g(x))\to h(B)\)。

前半部分可由数列判别法和第2章的运算法则证明。复合结论将在连续性定义后得到。计算时应先查看极限结构，再决定直接代入、因式分解、有理化还是夹逼，不能对所有形式机械套用一种方法。

例 3.6 (去掉共同因子而不改变极限). 求 \(\lim_{x\to1}(x^2-1)/(x-1)\)。原函数定义域不含 \(1\)，但在去心邻域中有 \[\frac{x^2-1}{x-1}=x+1.\] 因此极限为 \(2\)。这并没有证明原函数在 \(1\) 处有函数值；它只是说明可补定义该点，使补后的函数连续。极限计算允许在去心邻域内化简，连续性判断还需检查点值。

定义 3.7 (无穷小与阶的比较). 在同一种趋近方式下，若 \(\alpha(x)\to0\)，称它为无穷小。若 \(\beta(x)\) 在相应去心邻域内非零，则 \[\alpha=o(\beta)\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{\alpha}{\beta}\to0, \qquad \alpha\sim\beta\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{\alpha}{\beta}\to1.\] 记号 \(\alpha=O(\beta)\) 表示在充分小的去心邻域内存在固定 \(C>0\) 使 \(|\alpha(x)|\leqslant C|\beta(x)|\)。

无穷小是随变量变化的函数，通常不是一个固定的”很小的数”。记号 \(o\)、\(O\) 必须注明所对应的趋近方式；同一表达式在 \(x\to0\) 与 \(x\to\infty\) 时可能具有完全不同的阶。

基本三角极限

弧度制下，对 \(0<t<\pi/2\)，单位圆内接三角形、扇形及外切三角形的面积比较给出 \[\sin t<t<\tan t, \qquad \cos t<\frac{\sin t}{t}<1.\] 由 \(|\sin u|\leqslant|u|\) 及 \(1-\cos t=2\sin^2(t/2)\leqslant t^2/2\)，得 \(\cos t\to1\)。夹逼定理和偶性便推出 \[\begin{equation} \label{eq:03-sin} \lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1, \qquad \sin t\sim t. \end{equation}\] 弧度制是这个极限等于 \(1\) 的必要单位约定。这里没有使用导数，因此后面可用它推导三角函数的导数，不形成循环论证。

例 3.8 (等价无穷小与有理化结合). 求 \(\lim_{x\to0}\sin(3x)/(\sqrt{1+2x}-1)\)。定义域在零附近满足 \(1+2x>0\)，且 \(x\neq0\) 时可有理化： \[\frac{\sin(3x)}{\sqrt{1+2x}-1} =\frac{\sin(3x)}{3x}\cdot\frac32\bigl(\sqrt{1+2x}+1\bigr) \longrightarrow3.\] 其中 \(\sqrt{1+2x}\to1\) 可由根号差的估计得到。也可先证明 \(\sqrt{1+2x}-1\sim x\)，再与 \(\sin(3x)\sim3x\) 组合。

命题 3.9 (等价替换的乘除规则). 若 \(\alpha\sim\widetilde\alpha\)、\(\beta\sim\widetilde\beta\)，且所用分母在去心邻域内非零，则 \[\frac{\alpha/\beta}{\widetilde\alpha/\widetilde\beta}\to1.\] 因此，在已知右侧商具有有限极限时，可用等价量替换乘除表达式中的因子来求极限。

证明. Proof. 上述比值等于 \((\alpha/\widetilde\alpha)/(\beta/\widetilde\beta)\)，分子分母都趋于 \(1\)，故结论来自商的运算法则。 ◻

虽然 \(x+x^2\sim x\)、\(x\sim x\)，但 \((x+x^2)-x=x^2\)，将两个被减项都替成 \(x\) 却得到零。相减可能消去低阶部分，必须控制被删余项相对于最终尺度的大小。若已知 \(f=g+o(h)\)，则在以 \(h\) 为分母的表达式中替换 \(f\) 为 \(g\) 才有明确依据。

3.3 连续函数、局部性质与间断点

定义 3.10 (点的连续性). 设 \(a\in D\)。若对每个 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，使 \(x\in D\)、\(|x-a|<\delta\) 时有 \(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\)，称 \(f\) 在 \(a\) 连续。若它在 \(D\) 的每一点连续，称其在 \(D\) 上连续。

若 \(a\) 是定义域聚点，连续性等价于 \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)。闭区间端点的连续按定义域内的单侧趋近理解；孤立点按定义自动连续。连续是关于已定义函数的性质，不能只看一个表达式的外观。

定理 3.11 (连续性的运算与复合). 若 \(f,g\) 在 \(a\) 连续，则有限线性组合与乘积在 \(a\) 连续；若 \(g(a)\neq0\)，商在 \(a\) 的适当定义域上连续。若 \(g\) 在 \(a\) 连续，\(h\) 在 \(g(a)\) 连续，且复合在 \(a\) 的相对邻域中有定义，则 \(h\circ g\) 在 \(a\) 连续。

证明. Proof. 线性组合、乘积和商由极限运算得到。证明复合时，给定输出误差 \(\varepsilon>0\)，由 \(h\) 在 \(g(a)\) 连续，存在 \(\eta>0\)，使 \(|u-g(a)|<\eta\) 时有 \(|h(u)-h(g(a))|<\varepsilon\)。再由 \(g\) 的连续性，选 \(\delta>0\) 保证 \(|x-a|<\delta\) 时 \(|g(x)-g(a)|<\eta\)。两步衔接即得结论，且允许 \(g(x)=g(a)\)。 ◻

因此多项式处处连续，有理函数在分母非零处连续。绝对值函数由反三角不等式连续；平方根函数在 \([0,+\infty)\) 上由 \(|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leqslant\sqrt{|x-y|}\) 连续。有限次连续复合仍然连续，这为多层函数模型提供了最基本的分析结论。

命题 3.12 (局部有界与局部保号). 若 \(f\) 在 \(a\) 连续，则在 \(a\) 的某个相对邻域内有界。若另有 \(f(a)>0\)，则在某个相对邻域内 \(f(x)>f(a)/2>0\)；负值情形类似。

证明. Proof. 取输出误差 \(1\)，得 \(|f(x)|\leqslant|f(a)|+1\)。若 \(f(a)>0\)，改取误差 \(f(a)/2\)，则 \(f(x)>f(a)-f(a)/2\)。 ◻

例 3.13 (同一去心表达式的不同补值). 令 \[f_c(x)=\begin{cases}\sin x/x,&x\neq0,\\ c,&x=0.\end{cases}\] 由式[eq:03-sin]，去心极限等于 \(1\)，故 \(f_c\) 在零连续当且仅当 \(c=1\)。\(c\neq1\) 时称为可去间断，因为只改一个点值即可连续延拓。

若左右有限极限存在但不相等，称为跳跃间断；例如 \(f(x)=0\) 当 \(x<1\)、\(f(x)=2\) 当 \(x\geqslant1\)，在 \(1\) 处两侧极限分别为 \(0,2\)，改动点值无法使其连续。若至少一侧没有有限极限，则属于第二类间断，包括无穷发散与振荡情形。分类时应明确所考察点及两侧定义域，不把未定义点自动说成原函数的连续点。

补定义 \(f(0)=0\) 后连续的振荡函数；曲线被 \(\pm|x|\) 夹住。图中有限采样只展示形状，连续性由夹逼估计证明。

3.4 闭区间上的连续函数

局部连续并不自动提供整个定义域上的统一控制。闭且有界的区间把局部性质组合成全局结论，其关键是有界数列必有收敛子列且极限仍留在区间内。

定理 3.14 (有界性与最值定理). 若 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，则它有界，并且存在 \(x_{\min},x_{\max}\in[a,b]\)，使对所有 \(x\in[a,b]\) 有 \[f(x_{\min})\leqslant f(x)\leqslant f(x_{\max}).\]

证明. Proof. 若 \(f\) 无界，对每个正整数 \(n\) 可选 \(x_n\in[a,b]\) 使 \(|f(x_n)|>n\)。由 Bolzano–Weierstrass 定理，存在子列 \(x_{n_k}\to c\in[a,b]\)。连续性给出 \(f(x_{n_k})\to f(c)\)，与其绝对值大于 \(n_k\) 矛盾，所以 \(f\) 有界。

记 \(M=\sup\{f(x):x\in[a,b]\}\)。由确界性质可选 \(x_n\) 使 \(M-1/n<f(x_n)\leqslant M\)。再取收敛子列 \(x_{n_k}\to x_{\max}\in[a,b]\)，由连续性与夹逼得 \(f(x_{\max})=M\)。对 \(-f\) 应用最大值结论，便得到最小值。 ◻

例 3.15 (检查最值定理的条件). \(f(x)=1/x\) 在 \((0,1)\) 连续却无界；\(g(x)=x\) 在 \((0,1)\) 连续且有界，却没有最大值或最小值；\(h(x)=x\) 在整个 \(\mathbb{R}\) 连续，也无界。前两个例子缺少闭区间条件，第三个缺少有界区间条件。定理给出充分条件，某函数不满足这些条件时，应另行判断，不能直接认定它没有最值。

定理 3.16 (零点定理与介值定理). 若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续且 \(f(a)f(b)<0\)，则存在 \(c\in(a,b)\) 使 \(f(c)=0\)。更一般地，\(f\) 能取到 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 之间的每一个值。

证明. Proof. 不妨设 \(f(a)<0<f(b)\)。令 \(S=\{x\in[a,b]:f(x)<0\}\)，则 \(S\) 非空有上界，记 \(c=\sup S\)。由端点连续及局部保号性，\(S\) 含有 \(a\) 右侧一小段，而 \(b\) 左侧一小段没有 \(S\) 中的点，故 \(a<c<b\)。

若 \(f(c)<0\)，连续性使 \(c\) 右侧足够近的点仍满足 \(f<0\)，与 \(c\) 是上界矛盾。若 \(f(c)>0\)，连续性使 \(c\) 附近一段都满足 \(f>0\)，但确界性质要求存在 \(S\) 中的点任意接近 \(c\)，矛盾。因此 \(f(c)=0\)。对介值 \(v\)，将零点结论应用于 \(f-v\)；端点值情形直接成立。 ◻

结合最值定理可知：闭区间上连续函数的值域是某个闭区间 \([m,M]\)。介值定理保证存在，不能单独保证唯一；唯一性常由严格单调性得到。

例 3.17 (二分定位一个标定参数). 需选 \(\theta\in[0,1]\) 使 \(\theta+\theta^3=1\)。令 \(F(\theta)=\theta+\theta^3-1\)，则 \(F\) 连续，\(F(0)=-1\)、\(F(1)=1\)，故有根。对 \(v>u\)， \[F(v)-F(u)=(v-u)(1+v^2+uv+u^2)>0,\] 因为 \(v^2+uv+u^2\geqslant0\)，故根唯一。每次取当前区间中点并保留异号半区间，\(k\) 次二分后区间长度为 \(2^{-k}\)，中点到根的距离不超过 \(2^{-k-1}\)。达到中点误差不超过 \(10^{-3}\)，取 \(k=9\) 即可。计算函数值用于决定保留哪一半，存在性、唯一性与误差保证分别由不同数学事实提供。

命题 3.18 (连续单调函数的反函数连续性). 设 \(f\) 在区间 \(I\) 上连续且严格单调，则其反函数在区间 \(f(I)\) 上连续。

证明. Proof. 以严格递增情形为例。取 \(y_0=f(x_0)\)。若 \(x_0\) 是 \(I\) 的内点，给定足够小的 \(\varepsilon>0\)，使 \(x_0\pm\varepsilon\in I\)。由严格单调性， \[f(x_0-\varepsilon)<y_0<f(x_0+\varepsilon).\] 取 \(\delta\) 为两侧正差的较小者，则 \(y\in f(I)\)、\(|y-y_0|<\delta\) 时，单调性强制其原像位于 \((x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)\)。较大的误差要求可由较小者满足。若 \(x_0\) 是属于 \(I\) 的端点，只需使用区间内的一侧作同样估计。严格递减情形反转次序即可。原函数连续性通过介值性质保证 \(f(I)\) 是区间。 ◻

3.5 一致连续、Lipschitz 条件与模型稳定性

点连续允许 \(\delta\) 随所处位置变化。例如对 \(f(x)=x^2\)，离零越远，达到同样输出误差通常需要越小的输入误差。一致连续要求在整个集合上使用同一个输入尺度。

定义 3.19 (一致连续与 Lipschitz 条件). 若对每个 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，使所有 \(x,y\in D\) 只要 \(|x-y|<\delta\)，就有 \(|f(x)-f(y)|<\varepsilon\)，则称 \(f\) 在 \(D\) 上一致连续。若存在 \(L\geqslant0\) 使 \[\begin{equation} \label{eq:03-lipschitz} |f(x)-f(y)|\leqslant L|x-y|\quad(x,y\in D), \end{equation}\] 则称 \(f\) 满足 Lipschitz 条件，\(L\) 为一个 Lipschitz 常数。

Lipschitz 条件给出线性的统一误差界，因而推出一致连续：可取 \(\delta=\varepsilon/(L+1)\)。一致连续不一定有线性误差界，点连续也不一定一致连续。

定理 3.20 (Heine–Cantor 定理). 闭区间上的连续函数一致连续。

证明. Proof. 若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上不一致连续，则存在 \(\varepsilon_0>0\)，对每个正整数 \(n\) 都可选 \(x_n,y_n\in[a,b]\)，使 \(|x_n-y_n|<1/n\) 而 \(|f(x_n)-f(y_n)|\geqslant\varepsilon_0\)。选子列 \(x_{n_k}\to c\in[a,b]\)，由 \[|y_{n_k}-c|\leqslant|y_{n_k}-x_{n_k}|+|x_{n_k}-c|\] 知 \(y_{n_k}\to c\)。连续性使两个函数值子列都趋于 \(f(c)\)，其差应趋于零，与下界 \(\varepsilon_0\) 矛盾。 ◻

例 3.21 (两个逆命题的反例). 函数 \(\sqrt x\) 在 \([0,1]\) 上一致连续，也可由 \(|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leqslant\sqrt{|x-y|}\) 直接证明；但它不满足全区间 Lipschitz 条件，因为取 \(y=0\) 后比值为 \(1/\sqrt x\)，没有统一上界。函数 \(x^2\) 在 \(\mathbb{R}\) 上处处连续，却不一致连续：取 \(x_n=n\)、\(y_n=n+1/n\)，则 \(|x_n-y_n|\to0\)，而 \(|x_n^2-y_n^2|=2+1/n^2\) 不趋于零。

命题 3.22 (有限复合的扰动界). 若 \(f\) 在其定义域上满足 Lipschitz 常数 \(L_f\)，\(g\) 在 \(f\) 的值域上满足 Lipschitz 常数 \(L_g\)，则 \(g\circ f\) 的 Lipschitz 常数可取 \(L_gL_f\)。若 \(f_i\) 的常数为 \(L_i\)，则有限线性组合 \(\sum_iw_if_i\) 的常数可取 \(\sum_i|w_i|L_i\)。

证明. Proof. 复合情形连续使用两个估计： \[|g(f(x))-g(f(y))|\leqslant L_g|f(x)-f(y)| \leqslant L_gL_f|x-y|.\] 线性组合情形用三角不等式逐项控制即可。 ◻

例 3.23 (饱和处理与输入误差). 定义区间截断函数 \[C(x)=\begin{cases}0,&x<0,\\x,&0\leqslant x\leqslant1,\\1,&x>1.\end{cases}\] 若 \(x\leqslant y\)，逐段比较可得 \(0\leqslant C(y)-C(x)\leqslant y-x\)，所以 \(C\) 的 Lipschitz 常数为 \(1\)。模型 \(F(x)=C(2x-1)\) 因而满足 \(|F(x+h)-F(x)|\leqslant2|h|\)。要对全部实数输入保证输出误差不超过 \(0.01\)，输入绝对误差不超过 \(0.005\) 是一个充分条件。饱和区内真实变化可能为零，但全域上界须同时覆盖中间线性区。

对有限数据模型 \(f_\theta(x_i)\)，若对参数有 \(|f_\theta(x_i)-f_\eta(x_i)|\leqslant K_i|\theta-\eta|\)，并且在所考虑参数范围内 \(|f_\theta(x_i)-y_i|\leqslant B_i\)，则平均平方误差满足 \[|J(\theta)-J(\eta)| \leqslant\frac1m\sum_{i=1}^{m}2B_iK_i|\theta-\eta|.\] 因为两个平方残差的差可以分解为差与和的乘积。条件中的参数范围与残差上界必须明确；目标函数连续不等于它在全部参数空间拥有一个有限的 Lipschitz 常数。这类估计讨论给定模型的扰动响应，不直接推出对未见数据的预测误差。

用连续模表达非线性的误差界

对于有界区间 \(D\) 上的一致连续函数，可定义 \[\omega_f(t)=\sup\{|f(x)-f(y)|:x,y\in D,\ |x-y|\leqslant t\}, \qquad t\geqslant0.\] 这里 \(f\) 有界时上确界有限，且成对取 \(x=y\) 保证集合非空。函数 \(\omega_f\) 随 \(t\) 不减，它把所有相距不超过 \(t\) 的输入所能产生的最大输出差统一收集起来。由一致连续定义可知 \(\omega_f(t)\to0\) 当 \(t\downarrow0\)；反之，这一极限也推出一致连续。

Lipschitz 条件给出 \(\omega_f(t)\leqslant Lt\)，平方根函数则给出 \(\omega_f(t)\leqslant\sqrt t\)。两者都能控制误差，但控制尺度不同。例如平方根输入在 \([0,1]\) 内，要统一保证输出误差不超过 \(10^{-3}\)，输入误差不超过 \(10^{-6}\) 就足够；仅要求输入误差不超过 \(10^{-3}\)，则只能由此估计保证输出误差不超过 \(\sqrt{10^{-3}}\)。

误差界一般不是唯一的，也未必处处取到。应用一个上界时，关键是它对规定范围内的全部输入成立，并且足以满足当前精度要求；无需先求出最小的可能上界。

这一表述适合比较没有全域导数界的连续模型，也提醒学习者区分”存在某个有效容差”与”已经得到一个可计算容差”。最值和一致连续定理通常先解决存在性；具体表达式、因式分解或额外条件才提供适用于计算的数量关系。

点连续：在指定输入附近，误差可被控制；一致连续：同一输入尺度适用于整个研究范围；Lipschitz 条件：用一个线性系数给出定量界。先明确范围，再确定能证明哪一层结论，最后选择与精度要求相匹配的控制量。

3.6 知识回顾与分层习题

去心极限与点值共同决定连续性；数列判别把函数行为连接到已建立的数列理论；等价无穷小须遵守余项尺度；闭区间条件导出最值、介值和一致连续；Lipschitz 估计把连续关系进一步转化为可计算的误差界。

基础题

  1. 用定义证明 \(\lim_{x\to1}(3x-2)=1\)。

  2. 求 \(\lim_{x\to4}(\sqrt{x}-2)/(x-4)\)。

  3. 求 \(\lim_{x\to0}\sin(5x)/\sin(2x)\)，说明等价替换所使用的条件。

  4. 设 \(f(x)=ax+1\) 当 \(x<1\)，\(f(x)=x^2\) 当 \(x\geqslant1\)。求使 \(f\) 连续的 \(a\)。

  5. 判断 \(f(x)=|x|/x\) 在零点是否有极限；能否补定义零点值使其连续？

  6. 给出 \(x^2\) 在 \([-2,3]\) 上的一个 Lipschitz 常数，并据此选择保证输出误差小于 \(10^{-2}\) 的输入容差。

推理题

  1. 证明 \(\lim_{x\to0}x^2\cos(1/x^2)=0\)。比较只观察一串等距采样点与这个证明的差别。

  2. 设 \(f\) 在 \([0,1]\) 连续且 \(f([0,1])\subseteq[0,1]\)。证明存在 \(c\in[0,1]\) 使 \(f(c)=c\)。

  3. 证明连续函数 \(f\) 若在闭区间 \([a,b]\) 上处处为正，则存在 \(m>0\) 使 \(f(x)\geqslant m\)；说明开区间上结论为何可能失败。

  4. 证明 \(f(x)=x/(1+|x|)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上的 Lipschitz 常数可取 \(1\)。提示：分同号与异号讨论。

拓展题

  1. 设 \(F(x)=C(aC(bx+c)+d)\)，其中 \(C\) 是本章截断函数。给出 \(F\) 的一个全域 Lipschitz 常数，并解释 \(a=0\) 或 \(b=0\) 的情形。

  2. 设 \(f\) 在 \(D\) 上一致连续，\((x_n)\) 是 \(D\) 内的 Cauchy 列。证明 \((f(x_n))\) 为 Cauchy 列。再用 \(f(x)=1/x\) 和适当数列说明，一般的点连续不足以保证此结论。

3.7 本章选题解答

  1. 误差 \(|(3x-2)-1|=3|x-1|\)，给定 \(\varepsilon>0\) 取 \(\delta=\varepsilon/3\) 即可。

  2. 在 \(x\neq4\) 时有 \((\sqrt{x}-2)/(x-4)=1/(\sqrt{x}+2)\)，分母趋于 \(4\) 且在邻域内非零，极限为 \(1/4\)。

  3. 写成 \(\frac{\sin(5x)}{5x}\cdot\frac{2x}{\sin(2x)}\cdot\frac52\)。在足够小的去心邻域内分母不为零，前两个因子均趋于 \(1\)，故极限为 \(5/2\)。

  4. 唯一需检查的分段点为 \(1\)。左极限 \(a+1\)，右极限与函数值均为 \(1\)，所以 \(a=0\)。其余位置各段均为多项式，连续。

  5. 对 \(x,y\in[-2,3]\)，有 \(|x^2-y^2|=|x-y||x+y|\leqslant6|x-y|\)，故常数可取 \(6\)。若 \(|x-y|<1/600\)，则输出误差小于 \(10^{-2}\)；两个输入都须留在该区间内。

  6. 绝对值不超过 \(x^2\)，给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\sqrt\varepsilon\) 即得极限为零。此估计覆盖全部满足 \(0<|x|<\delta\) 的输入，有限采样只能检查有限个点。

  7. 令 \(g(x)=f(x)-x\)，则 \(g\) 连续，\(g(0)\geqslant0\)、\(g(1)\leqslant0\)。任一端点等于零时已得不动点；否则两端异号，由零点定理存在内部零点。结论只保证不动点存在，不保证唯一或相应迭代收敛。

  8. 最值定理给出某个 \(x_0\in[a,b]\) 使 \(f(x_0)=\min f\)，由处处正值得 \(m=f(x_0)>0\)。在开区间 \((0,1)\) 上，\(f(x)=x\) 处处正，但不存在严格正的统一下界。

  9. 若 \(x,y\geqslant0\)，则 \[|f(x)-f(y)|=\frac{|x-y|}{(1+x)(1+y)}\leqslant|x-y|.\] \(x,y\leqslant0\) 时由奇性化为上一种情形。若 \(x\leqslant0\leqslant y\)，则 \(|f(y)-f(x)|=|f(y)|+|f(x)|\leqslant|y|+|x|=|y-x|\)。所以全域常数为 \(1\)。

  10. 两个截断步骤的常数均为 \(1\)，两个仿射步骤的常数分别为 \(|b|\)、\(|a|\)，复合后可取 \(|ab|\)。若任一系数为零，整个函数为常数，最小 Lipschitz 常数为零。

  11. 给定 \(\varepsilon>0\)，由一致连续性选 \(\delta>0\)，使任意 \(u,v\in D\) 满足 \(|u-v|<\delta\) 时输出差小于 \(\varepsilon\)。由 Cauchy 条件，足够大的 \(m,n\) 有 \(|x_m-x_n|<\delta\)，故 \(|f(x_m)-f(x_n)|<\varepsilon\)。反例取 \(D=(0,1]\)、\(x_n=1/n\)，则输入是 Cauchy 列，\(f(x_n)=n\) 却不是。