5 中值定理、Taylor公式与误差估计
本章把点上的导数信息转化为区间上的函数信息。学习后，应能逐项核对Rolle、Lagrange和Cauchy中值定理的假设，用导数界证明单调性与扰动界，识别L’Hospital法则的适用条件；能按问题所需选择Peano余项或Lagrange余项，计算局部展开并给出有限步长上的误差上界。先修知识为闭区间连续函数的性质、第4章的导数与高阶导数。有限阶展开不等同于无限级数表示，后者见第8章。
5.1 极值条件与Lagrange中值定理
导数描述一个点附近的变化率。若已知整个区间上的导数，能否比较区间两端的函数值？中值定理对此给出严格的桥梁：某个内点的瞬时变化率，恰好等于整个区间上的平均变化率。建立这座桥梁，首先需要可导函数在内部极值点的必要条件。
引理 5.1 (Fermat引理). 设\(x_0\)是\(f\)定义域的内点，\(f\)在\(x_0\)可导。若\(f\)在\(x_0\)取得局部极大值或局部极小值，则\(f'(x_0)=0\)。
证明. Proof. 设\(x_0\)为局部极大值点。对充分小的正数\(h\)，有\(f(x_0+h)-f(x_0)\le0\)，所以右差商不大于零；对充分小的负数\(h\)，左差商不小于零。两个单侧极限存在且相等，因此导数既不大于零又不小于零，只能为零。极小值情形可对\(-f\)使用同一论证。 ◻
内点与可导性都不能删去。函数\(f(x)=x\)在\([0,1]\)的最小值位于端点\(0\)，导数为\(1\)；\(f(x)=|x|\)在零点取得最小值，却不可导。反过来，\(f'(x_0)=0\)也不保证极值，例如\(x^3\)在零点导数为零，但函数值在零点两侧一负一正。
定理 5.2 (Rolle中值定理). 设\(a<b\)，\(f\)在\([a,b]\)连续、在\((a,b)\)可导，并且\(f(a)=f(b)\)，则存在\(\xi\in(a,b)\)使\(f'(\xi)=0\)。
证明. Proof. 由闭区间连续函数的最值定理，\(f\)在\([a,b]\)取得最大值\(M\)和最小值\(m\)。若\(M=m\)，则\(f\)为常数，任取内点即可。若\(M>m\)，由于两个端点函数值相同，最大值或最小值中至少一个必须在内点取得。对该内点应用Fermat引理，得到导数为零。 ◻
定理 5.3 (Lagrange中值定理). 设\(a<b\)，\(f\)在\([a,b]\)连续、在\((a,b)\)可导，则存在\(\xi\in(a,b)\)使 \[\begin{equation} \label{eq:05-mvt} f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a). \end{equation}\]
证明. Proof. 令\(\ell(x)=f(a)+[f(b)-f(a)](x-a)/(b-a)\)为通过两个端点的直线，并令\(F(x)=f(x)-\ell(x)\)。函数\(F\)满足Rolle定理的连续性和可导性要求，且\(F(a)=F(b)=0\)。因此某个\(\xi\in(a,b)\)满足 \[0=F'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\] 整理即得结论。 ◻
这里仅断言某个中间点存在，一般不要求能把它显式求出，也不保证唯一。点\(\xi\)依赖函数及两个端点；对不同区间或不同函数使用定理时，不应把所得中间点未经证明地看成同一点。
例 5.4 (计算一个中间点). 设\(f(x)=x^3\)，区间为\([0,2]\)。割线斜率为\((8-0)/(2-0)=4\)。方程\(f'(\xi)=3\xi^2=4\)在\((0,2)\)内的解为\(\xi=2/\sqrt3\)。切线在该点的斜率与割线相同，但切线和割线的位置不同。若把区间改为\([-1,1]\)，割线斜率为\(1\)，则\(\xi=\pm1/\sqrt3\)都满足条件，说明中间点可以不唯一。
5.2 由导数控制区间上的变化
命题 5.5 (常数判别与单调性). 设\(f\)在区间\(I\)上可导。
若\(f'(x)=0\)对\(I\)中每一点成立，则\(f\)在\(I\)上为常数。
若\(f'(x)\ge0\)处处成立，则\(f\)单调不减；若\(f'(x)>0\)处处成立，则\(f\)严格增加。
若\(f\)单调不减，则其存在的导数必不小于零。
闭区间端点的可导性可改为连续性。
证明. Proof. 对任意\(x<y\)，在\([x,y]\)应用中值定理，得到\(f(y)-f(x)=f'(\xi)(y-x)\)。因为\(y-x>0\)，前两条由\(f'(\xi)\)的相应条件立即得到。对于第三条，单调不减使任意充分小的非零\(h\)对应差商都非负；若差商极限存在，它也非负。 ◻
严格增加函数的导数可以在个别点为零，例如\(x^3\)。因此”导数处处为正”是严格增加的充分条件，而非必要条件。常数判别中的区间条件同样有作用：在\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)上定义\(f(x)=-1\)（\(x<0\)）、\(f(x)=1\)（\(x>0\)），导数处处为零，函数却不在整个定义域上取同一常数。
定理 5.6 (导数界与Lipschitz估计). 设\(f\)在\([a,b]\)连续、在\((a,b)\)可导，且\(|f'(x)|\le M\)，则对任意\(x,y\in[a,b]\)， \[\begin{equation} \label{eq:05-lipschitz} |f(x)-f(y)|\le M|x-y|. \end{equation}\] 更一般地，若\(m\le f'(t)\le M\)，则\(x<y\)时有 \(m(y-x)\le f(y)-f(x)\le M(y-x)\)。
证明. Proof. \(x=y\)时结论显然。\(x\ne y\)时在以两点为端点的区间上使用中值定理，取绝对值并使用导数界即可；保留导数的上下界则得到后一不等式。 ◻
例 5.7 (对数不等式及其误差含义). 对\(x>0\)，在\([1,1+x]\)上对\(\ln t\)使用中值定理，存在\(\xi\in(1,1+x)\)使 \[\ln(1+x)=\frac{x}{\xi}.\] 因为\(1<\xi<1+x\)，所以 \[\begin{equation} \label{eq:05-logbounds} \frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x. \end{equation}\] 从而\(0<x-\ln(1+x)<x^2/(1+x)\)。这给出了用\(x\)近似\(\ln(1+x)\)时的一个误差上界，也表明近似值偏大。此界不是最优界，但它只需要一阶导数信息。
例 5.8 (根的唯一性与残差控制). 设\(F(x)=x+\sin x-1\)，\(0\le x\le1\)。由\(F(0)=-1\)、\(F(1)=\sin1>0\)及连续性，存在根\(r\in(0,1)\)。又因 \[F'(x)=1+\cos x\ge1+\cos1>0,\] 函数严格增加，故根唯一。对任意近似值\(\widetilde r\in[0,1]\)，中值定理给出 \[|\widetilde r-r| \le\frac{|F(\widetilde r)|}{1+\cos1}.\] 右侧的\(|F(\widetilde r)|\)称为残差；导数下界把残差变为位置误差的保证。若没有正的导数下界，小残差未必代表近似点离根很近，例如\(F(x)=\varepsilon x\)的残差还受很小的系数\(\varepsilon\)影响。
先选定要比较的两个端点及辅助函数，再核对闭区间连续、开区间可导，最后对中间点处的导数使用可在整个区间成立的界。若目标是证明存在性，保留中间点；若目标是估计误差，通常用区间上一致成立的常数替换未知的中间点值。
5.3 Cauchy中值定理与L’Hospital法则
定理 5.9 (Cauchy中值定理). 设\(f,g\)均在\([a,b]\)连续、在\((a,b)\)可导，则存在\(\xi\in(a,b)\)使 \[[f(b)-f(a)]g'(\xi)=[g(b)-g(a)]f'(\xi).\] 若另有\(g'(x)\ne0\)对所有\(x\in(a,b)\)成立，则\(g(b)\ne g(a)\)，并且 \[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.\]
证明. Proof. 令 \[H(x)=[f(b)-f(a)][g(x)-g(a)] -[g(b)-g(a)][f(x)-f(a)].\] 有\(H(a)=H(b)=0\)，应用Rolle定理得到某点\(H'(\xi)=0\)，即第一式。若\(g(b)=g(a)\)，Rolle定理又将给出某点\(g'=0\)，与附加假设矛盾。因此有关分母均非零，可以相除。 ◻
取\(g(x)=x\)便回到Lagrange中值定理。Cauchy形式的作用是比较两个函数在同一区间上的增量；它使用同一个中间点，不能通过对\(f\)和\(g\)分别使用Lagrange定理后随意约去不同中间点来替代。
定理 5.10 (L’Hospital法则的右侧\(0/0\)型). 设\(f,g\)在\((a,a+\delta)\)可导，\(g'(x)\ne0\)，且 \[\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^+}g(x)=0.\] 若\(\lim_{x\to a^+}f'(x)/g'(x)=L\)存在，其中\(L\)可以是有限实数或\(\pm\infty\)，则 \[\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=L.\]
证明. Proof. 补定义\(f(a)=g(a)=0\)，两函数就在端点\(a\)连续。对每个\(x\in(a,a+\delta)\)，Cauchy中值定理给出\(\xi_x\in(a,x)\)，使 \[\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(\xi_x)}{g'(\xi_x)}.\] 这里\(g(x)\ne0\)由Rolle定理保证。由于\(a<\xi_x<x\)，当\(x\to a^+\)时必有\(\xi_x\to a^+\)，右侧趋于\(L\)。无穷极限时，同样使用其定义即可完成论证。 ◻
左侧版本可通过变量替换得到，两侧极限必须分别满足条件且给出相同结果。无穷远处的某些问题可以先令\(t=1/x\)化为端点问题；对于其他不定式，应先完成等价变形，再核对相应法则的条件。L’Hospital法则不是对任意分子分母同时求导的规则。
例 5.11 (一次求导与两次求导的条件). 计算\(\lim_{x\to0}(e^{2x}-1-2x)/x^2\)。分子分母均趋于零，分母导数\(2x\)在去心邻域非零。第一次求导后仍为\(0/0\)型，第二次使用法则时分母导数为常数\(2\ne0\)，于是 \[\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1-2x}{x^2} =\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}-2}{2x} =\lim_{x\to0}\frac{4e^{2x}}2=2.\] 每一步都需要单独满足条件。等号表达的是两个极限相等，不是两组商在非零\(x\)时恒等。
例 5.12 (导数比不收敛时原商仍可能收敛). 令\(f(x)=x+x^2\sin(1/x)\)、\(g(x)=x\)，\(x\ne0\)。原商满足 \[\frac{f(x)}{g(x)}=1+x\sin(1/x)\longrightarrow1,\] 但 \[\frac{f'(x)}{g'(x)}=1+2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\] 没有极限。因此导数比极限存在是该法则的充分条件，并非原商收敛的必要条件。遇到导数比越来越复杂时，应回到代数化简、夹逼或展开等方法，而不能据此断言原极限不存在。
5.4 Taylor多项式与两类余项
局部线性化只保留一阶信息。如果若干低阶项在问题中相互抵消，就需要更高阶近似。例如\(e^x-1-x\)的一阶信息为零，其非零主部要从二阶项开始。Taylor多项式按函数在一个基点的各阶导数构造局部近似： \[T_n(x;x_0)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k.\] 该多项式与\(f\)在\(x_0\)处的前\(n\)阶导数一致，这一匹配条件也唯一确定次数不超过\(n\)的多项式。
定理 5.13 (带Peano余项的Taylor公式). 设\(f\in C^n\)于\(x_0\)的某邻域，\(n\ge1\)，则当\(x\to x_0\)时， \[\begin{equation} \label{eq:05-peano} f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k +o(|x-x_0|^n). \end{equation}\]
证明. Proof. 令\(R(x)=f(x)-T_n(x;x_0)\)，则\(R^{(k)}(x_0)=0\)，\(0\le k\le n\)。对\(x\)在\(x_0\)任一侧趋近的情形，反复使用上一节的\(0/0\)型法则，得到 \[\lim_{x\to x_0}\frac{R(x)}{(x-x_0)^n} =\lim_{x\to x_0}\frac{R^{(n)}(x)}{n!}=0.\] 最后一步由\(f^{(n)}\)在\(x_0\)连续，以及\(R^{(n)}(x_0)=0\)得到。各步分母相应导数在去心邻域非零，中间分子在\(x_0\)均趋于零，故法则适用。两侧均为零，取绝对值即得余项结论。 ◻
以上条件便于统一使用，并不是Peano公式的最弱条件。其优点是直接给出相对阶数，适合求极限；其局限是没有明确常数，不能仅凭\(o(|h|^n)\)宣布在给定\(h\)上达到多少位精度。
定理 5.14 (带Lagrange余项的Taylor公式). 设\(f\in C^{n+1}\)于包含\(x_0\)与\(x\)的闭区间，\(n\ge0\)，且\(x\ne x_0\)。则存在严格位于\(x_0\)与\(x\)之间的\(\xi\)，使 \[\begin{equation} \label{eq:05-lagrange} f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k +\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}. \end{equation}\] 若该区间上\(|f^{(n+1)}|\le M\)，则 \[\begin{equation} \label{eq:05-taylorbound} |f(x)-T_n(x;x_0)|\le\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}. \end{equation}\]
证明. Proof. 固定\(x\ne x_0\)，取常数\(K\)使 \[F(t)=f(t)-T_n(t;x_0)-K(t-x_0)^{n+1}\] 满足\(F(x)=0\)。此外\(F(x_0)=F'(x_0)=\cdots=F^{(n)}(x_0)=0\)。在\(x_0\)与\(x\)间应用Rolle定理，\(F'\)在两点之间有一个零点；再把这个零点与\(x_0\)处\(F'\)的零点作为端点，对\(F'\)使用Rolle定理。依次进行\(n+1\)次，存在\(\xi\)使 \[0=F^{(n+1)}(\xi)=f^{(n+1)}(\xi)-(n+1)!K.\] 因此\(K=f^{(n+1)}(\xi)/(n+1)!\)，代回\(F(x)=0\)得到公式。取绝对值并使用导数上界即得误差估计。 ◻
在常用展开点\(x_0=0\)处，前几个公式为 \[\begin{align*} e^x&=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(|x|^n),\\ \sin x&=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(|x|^5),\\ \cos x&=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(|x|^4),\\ \ln(1+x)&=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(|x|^3),\\ (1+x)^\alpha&=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}2x^2+o(x^2). \end{align*}\] 对数与一般实数幂的展开均在\(x=0\)的充分小邻域内使用，保证\(1+x>0\)。省略号只在阶数与系数规律明确时使用，余项必须与保留的最高阶一致。
例 5.15 (抵消后的主导项). 求 \[\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x+x^2/2}{x^3}.\] 展开到三阶有\(\ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+o(|x|^3)\)，所以分子为\(x^3/3+o(|x|^3)\)，极限为\(1/3\)。若只写\(\ln(1+x)\sim x\)，将无法识别抵消后剩下的三阶项；等价替换用于加减式时必须保留足够精度。
例 5.16 (复合展开必须跟踪阶数). 求\(e^{\sin x}\)在零点的三阶展开。先写\(\sin x=x-x^3/6+o(|x|^3)\)。由于\(\sin x=O(x)\)，对\(u=\sin x\)使用指数展开得 \[e^{\sin x}=1+\sin x+\frac{\sin^2x}{2}+\frac{\sin^3x}{6}+o(|x|^3).\] 其中\(\sin^2x=x^2+o(|x|^3)\)、\(\sin^3x=x^3+o(|x|^3)\)，代入后两项三阶系数抵消，故 \[e^{\sin x}=1+x+\frac{x^2}{2}+o(|x|^3).\] 三阶系数为零是计算结果，不代表函数与二次多项式完全相同。
5.5 近似区间、数值微分与误差预算
5.5.1 给定精度时怎样选择阶数
例 5.17 (对指数值给出可核验精度). 以三次多项式\(P_3(x)=1+x+x^2/2+x^3/6\)近似\(e^x\)，并估计\(x=0.2\)时的误差。由\(e^t\ge1+t\)可得\(e^{-x}\ge1-x\)，故\(0\le x\le0.2\)时\(e^x\le1/(1-x)\le1.25\)。其中不等式\(e^t\ge1+t\)可由函数\(e^t-1-t\)在零点取得最小值证明。Lagrange余项于是给出 \[P_3(0.2)=1.221333\ldots,\qquad 0<e^{0.2}-P_3(0.2)\le\frac{1.25(0.2)^4}{24}<8.34\times10^{-5}.\] 若要求误差不超过\(10^{-5}\)，三阶界不足以保证。改用四次多项式，误差上界成为 \[\frac{1.25(0.2)^5}{120}<3.34\times10^{-6},\] 因而四次近似足以达到要求。上界不满足要求时，只能说当前估计未能保证精度，不能据此断言实际误差必然超标。
同一个多项式在不同区间上的可信程度可以差别很大。若\(|f^{(n+1)}|\le M\)在\(|x-x_0|\le r\)成立，且要求误差不超过\(\varepsilon\)，则充分条件为 \[|x-x_0|\le\min\left\{r,\left(\frac{(n+1)!\varepsilon}{M}\right)^{1/(n+1)}\right\} \quad(M>0).\] 区间半径\(r\)同时保证导数界可用；不能先在很小区间内估出\(M\)，再把据此得到的近似任意推广到区间之外。
5.5.2 差分公式的截断误差
命题 5.18 (前向差分与中心差分的误差). 设\(h>0\)。若\(f\in C^2[x,x+h]\)且\(|f''|\le M_2\)，则 \[\left|\frac{f(x+h)-f(x)}h-f'(x)\right|\le\frac{M_2h}{2}.\] 若\(f\in C^3[x-h,x+h]\)且\(|f'''|\le M_3\)，则 \[\begin{equation} \label{eq:05-centralerror} \left|\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}-f'(x)\right| \le\frac{M_3h^2}{6}. \end{equation}\]
证明. Proof. 第一式由一阶Taylor公式直接除以\(h\)得到。对中心差分，分别写出 \[f(x\pm h)=f(x)\pm f'(x)h+\frac12f''(x)h^2+R_\pm, \qquad |R_\pm|\le\frac{M_3h^3}{6}.\] 相减时偶次项抵消，余项除以\(2h\)后的绝对值至多 \((|R_+|+|R_-|)/(2h)\le M_3h^2/6\)。 ◻
例 5.19 (函数值带误差时的步长选择). 设计算所得函数值为\(\widetilde f(t)=f(t)+e(t)\)，并且在两个采样点均有\(|e(t)|\le\delta\)。中心差分的总误差满足 \[\left|\frac{\widetilde f(x+h)-\widetilde f(x-h)}{2h}-f'(x)\right| \le\frac{M_3h^2}{6}+\frac{\delta}{h}.\] 第一项随\(h\)减小而减小，第二项却增大。若\(M_3,\delta>0\)，对右侧视作\(h\)的函数求导，得到其最小点 \[h_*=(3\delta/M_3)^{1/3}.\] 这个步长只在给定误差模型和导数界适用区间内有效；实际浮点误差还可能随函数尺度与运算方式变化。数学分析能够解释”步长越小并非总越准确”，但不会为所有函数给出同一个最优步长。
设某个标量输出\(J\)在参数\(w_0\)附近三阶连续可导，且\(|J'''(w)|\le M_3\)。二次局部模型 \[Q(h)=J(w_0)+J'(w_0)h+\tfrac12J''(w_0)h^2\] 满足\(|J(w_0+h)-Q(h)|\le M_3|h|^3/6\)。因此比较两个候选扰动时，若预测输出差大于两边误差上界之和，二次模型给出的大小次序就可得到保证；若两者接近，则现有近似不足以区分。这里讨论的是有限邻域内的确定性比较，不涉及迭代最终会到达何处。
例如两个扰动\(h_1,h_2\)的模型值满足 \(Q(h_1)+M_3|h_1|^3/6<Q(h_2)-M_3|h_2|^3/6\)，则必有 \(J(w_0+h_1)<J(w_0+h_2)\)。把每个近似值配上误差区间，比单独列出许多小数位更能说明结论的可信范围。
5.6 分层习题
基础题
对\(f(x)=x^2\)在\([1,3]\)上应用Lagrange中值定理，求所有满足结论的中间点。
函数\(f(x)=|x|\)在\([-1,1]\)满足哪些Rolle定理条件？为什么不能得到\(f'(\xi)=0\)的结论？
用中值定理证明，对\(x,y\ge1\)，\(|\ln x-\ln y|\le|x-y|\)。
用L’Hospital法则计算\(\lim_{x\to0}(\sin x-x)/x^3\)，逐次核对条件。
求\(\cos(2x)\)在零点的四阶Peano展开，并由此计算\(\lim_{x\to0}[\cos(2x)-1+2x^2]/x^4\)。
用\(1+x+x^2/2\)近似\(e^x\)，给出\(|x|\le0.1\)上的一致误差上界；可使用\(e^{0.1}<1.12\)。
推理题
设\(f\)在区间\(I\)可导且\(|f'|\le q<1\)。证明\(f\)在\(I\)至多有一个不动点。说明这一结论为什么尚未保证不动点存在。
证明对\(x>0\)有\(\arctan x<x\)，并用导数界证明\(x/(1+x^2)<\arctan x\)。
设\(f\in C^2[a,b]\)，\(f(a)=f(b)=0\)且\(f''(x)>0\)。证明\(f(x)<0\)对\(a<x<b\)成立。提示：分别对\([a,x]\)与\([x,b]\)使用中值定理。
设\(f\in C^{n+1}[a,b]\)且在\([a,b]\)有\(n+2\)个互不相同的零点。证明\(f^{(n+1)}\)在\((a,b)\)至少有一个零点。
拓展题
设\(f\in C^3[-1,1]\)且\(|f'''|\le6\)。中心差分计算中每个函数值的绝对误差不超过\(10^{-9}\)。求总误差上界达到最小时的理论步长，并判断\(h=10^{-12}\)是否合适。
设\(J\in C^3[-0.2,0.2]\)，\(J(0)=2\)、\(J'(0)=-1\)、\(J''(0)=4\)、\(|J'''|\le6\)。用二次模型与余项界比较\(J(0.1)\)和\(J(-0.1)\)；再判断同一信息是否足以比较\(J(0.1)\)和\(J(0.2)\)。
5.7 知识回顾与选题解答
中值定理的基本结构是”区间连续与可导假设，加上某个内点的存在结论”。导数的符号与上下界进一步把存在结论变成单调性、函数值界和残差误差界。Taylor公式在一点匹配多阶导数；Peano余项表达极限中的阶数，Lagrange余项结合导数界提供有限邻域的精度。误差估计必须同时报告近似公式、适用区间和控制常数，数值表格中的若干吻合结果不能替代这些条件。
第1、2题
第1题的割线斜率为\((9-1)/(3-1)=4\)，由\(2\xi=4\)得唯一中间点\(\xi=2\)。第2题满足闭区间连续和端点值相等，但在内点\(0\)不可导；非零点导数只能为\(-1\)或\(1\)，确实不存在导数为零的点，说明内点可导假设不可删除。
第4、5题
第4题逐次求导后得到 \[\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3} =\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{3x^2} =\lim_{x\to0}\frac{-\sin x}{6x} =-\frac16.\] 前两次变换均是\(0/0\)型，相关分母导数在去心邻域非零；最后一步可直接使用基本极限。第5题为 \[\cos(2x)=1-2x^2+\frac23x^4+o(x^4),\] 故所求极限为\(2/3\)。
第6题
任意\(|x|\le0.1\)时，基点\(0\)与\(x\)之间有\(|e^t|\le e^{0.1}<1.12\)，所以 \[\left|e^x-1-x-\frac{x^2}{2}\right| \le\frac{1.12|x|^3}{6} \le\frac{1.12\times10^{-3}}6<1.87\times10^{-4}.\] 同一个常数覆盖整个区间，因此这是一个一致误差界。
第7题
若\(u,v\in I\)均是不动点，则由中值定理的导数界， \[|u-v|=|f(u)-f(v)|\le q|u-v|.\] 因\(q<1\)，只能有\(u=v\)。但存在性尚未建立，例如\(f(x)=x/2\)定义在\(I=(1,2)\)，导数恒为\(1/2\)，在\(I\)内却没有不动点。若要证明迭代收敛到不动点，还需检查定义域保持性与适当的完备性条件。
第8题
对\(\arctan t\)在\([0,x]\)使用中值定理，存在\(\xi\in(0,x)\)使 \[\arctan x=\frac{x}{1+\xi^2}.\] 因为\(x>0\)且\(0<\xi<x\)，立即有\(x/(1+x^2)<\arctan x<x\)。
第9题
固定\(x\in(a,b)\)。存在\(\xi_1\in(a,x)\)、\(\xi_2\in(x,b)\)使 \[\frac{f(x)}{x-a}=f'(\xi_1),\qquad \frac{-f(x)}{b-x}=f'(\xi_2).\] 由\(f''>0\)及中值定理，\(f'\)严格增加，所以左侧第一比值小于第二比值。移项得 \[f(x)\left(\frac1{x-a}+\frac1{b-x}\right)<0.\] 括号为正，故\(f(x)<0\)。
第10题
将\(n+2\)个不同零点按大小排列。每对相邻零点之间应用Rolle定理，使\(f'\)至少有\(n+1\)个不同零点。依次对导函数重复这一过程，每次零点数至少减少一个，最终\(f^{(n+1)}\)至少有一个零点。各次应用的连续性与可导性由\(C^{n+1}\)条件保证。
第11、12题
第11题总误差上界为\(h^2+10^{-9}/h\)，极小点 \(h_*=(5\times10^{-10})^{1/3}\approx7.94\times10^{-4}\)，在允许区间内。若\(h=10^{-12}\)，函数值误差项的上界已达\(10^3\)，不能得到有效的导数近似保证。
第12题中\(Q(h)=2-h+2h^2\)，误差至多\(|h|^3\)。于是 \[J(0.1)\in[1.919,1.921],\qquad J(-0.1)\in[2.119,2.121],\] 两区间分离，故\(J(0.1)<J(-0.1)\)。同时 \[J(0.2)\in[1.872,1.888],\] 仍与\(J(0.1)\)的区间分离，所以还能保证\(J(0.2)<J(0.1)\)。判断依据是误差区间的位置，不能只比较二次模型的中心值。